machten met negatieve en gebroken exponenten

Hieronder zie je nog een keer de rekenregels voor machten:

  • $
    a^p \cdot a^q = a^{p + q}
    $
  • $
    \left( {a^p } \right)^q = a^{pq}
    $
  • $
    \left( {ab} \right)^p = a^p \cdot b^p
    $
  • $
    \frac{{a^p }}
    {{a^q }} = a^{p - q}
    $

Negatieve exponenten

De laatste rekenregel verdient nog enige aandacht. Volgens deze regel zou 25 gedeeld door 25 gelijk moeten zijn aan 20. Maar er zou eigenlijk 1 uit moeten komen. Kennelijk is 20=1. Op dezelfde manier kan je aantonen:

$
a^0=1\,\,met\,\,a\ne0
$

Volgens dezelfde regel:

$
\frac{{2^3}}
{{2^5}}=2^{3-5}=2^{- 2}
$

Kennelijk kunnen exponenten negatief zijn!?

$
\frac{{2^3 }}
{{2^5}}=\frac{{2\cdot2\cdot 2}}
{{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}}=\frac{1}
{{2^2}}
$

Dus kennelijk is $
2^{-2}=\large \frac{1}
{{2^2}}
$. Meer in 't algemeen geldt:

$
\Large a^{-p}=\frac{1}
{{a^p}}
$

Gebroken exponenten

De rekenregels voor machten gelden ook als p en q breuken zijn. Dus je kunt bijvoorbeeld schrijven:

$
2^{\frac{1}
{2}}  \cdot 2^{\frac{1}
{2}}  = 2^1  = 2
$

Maar dat is hetzelfde als:

$
\sqrt 2  \cdot \sqrt 2  = 2
$

Meer in het algemeen geldt:

$
a^{\frac{1}
{q}}  = \root q \of a \,\,\,en\,\,\,a^{\frac{p}
{q}}  = \root q \of {a^p } \,\,\,met\,\,a > 0
$

Door gebruik te maken van deze regel kan je soms handig rekenen, herleiden en vereenvoudigen.


Vergelijkingen met machten oplossen

Dankzij de rekenregels kan je sommige vergelijkingen oplossen door links en rechts alles te schrijven als machten met hetzelfde grondtal.

$
\eqalign{
  & 2 \cdot 2^{2x + 1}  = 16  \cr
  & 2^1  \cdot 2^{2x + 1}  = 2^4   \cr
  & 2^{2x + 2}  = 2^4   \cr
  & 2x + 2 = 4  \cr
  & x = 1 \cr}
$

Vergelijkingen met gebroken exponenten

$
\eqalign{
  & 5\root 3 \of {x^2 }  + 4 = 39  \cr
  & 5\root 3 \of {x^2 }  = 35  \cr
  & \root 3 \of {x^2 }  = 7  \cr
  & x^{\frac{2}
{3}}  = 7  \cr 
  & x = 7^{\frac{3}
{2}}  \approx 18,5 \cr}
$

Dit laatste kan je dan benaderen met je rekenmachine.

Vergelijkingen met machten

Voor x$>$0 en a$>$0 geldt: $x^p=a\to x=a^{\frac{1}{p}}$

©2004-2014 Wiskundeleraar - login