de Poisson-verdeling

De poissonverdeling

Er is sprake van een Poisson-verdeling als een kansexperiment met zeer kleine kans een groot aantal keren wordt uitgevoerd.

Volgens de Poisson-verdeling is de kans op $k$ keer succes gelijk aan:

$P(X=k)=e^{-\lambda}\cdot$ $\Large\frac{\lambda^{k}}{k!}$

Hierin is $\lambda$ het gemiddelde aantal keren succes.

Wat is e?

Die 'e' is het grondtal van de natuurlijke logartime. Dat krijg je nog... $e\approx2,718$. Je kunt op je GR gebruik maken van de $e^{x}$-toets.

De Poisson-verdeling en je GR

Op je GR kan je benaderingen uitrekenen voor de kansen rondom de Poisson-verdeling.

Voorbeeld 1

In een bepaald gebied zijn er gemiddeld 4 blikseminslagen per jaar. Bereken de kans op 0, 1, 2, 3 of 4 blikseminslagen per jaar.

Met de formule kan je kansen $P(X=0)$, $P(X=1)$, ... uitrekenen. Bedenk daarbij dat $\lambda=4$.

$
\begin{array}{l}
P(X = 0) = e^{ - 4}  \cdot \frac{{4^0 }}{{0!}} \approx 0,018 \\
P(X = 1) = e^{ - 4}  \cdot \frac{{4^1 }}{{1!}} \approx 0,073 \\
P(X = 2) = e^{ - 4}  \cdot \frac{{4^2 }}{{2!}} \approx 0,147 \\
\end{array}
$
...

Uiteindelijk ziet dat er in een grafiek zo uit:

q10744img1.gif

Voorbeeld 2

In een kerncentrale gebeurt gemiddeld 1 ongeval per jaar. Bereken de kans dat er

  1. dit jaar 3 ongevallen gebeuren
  2. hoogstens 3 ongevallen gebeuren
  3. minstens 3 ongevallen gebeuren

Uitwerkingen voorbeeld 2

Met je GR via OPTN, STAT, DIST, en POISSON
$\lambda=1$

  1. $P(X=3)$=PoissonPD(3,1)$\approx0,061$
  2. $P(X\le3)$=PoissonCD(3,1)$\approx0,981$
  3. $P(X\ge3)$=1-PoissonCD(2,1)$\approx0,080$

©2004-2020 Wiskundeleraar - login