3. vectoren en hoeken

Het inproduct

Met $
\underline a  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{a_1}\\
{a_2}\\
\end{array}} \right)
$ en $
\underline b  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{b_1 }\\
{b_2 }\\
\end{array}} \right)
$ is het inproduct gelijk aan:

$
\underline a\cdot \underline b=\left( {\begin{array}{*{20}c}
{a_1}\\
{a_2}\\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
{b_1}\\
{b_2}\\
\end{array}} \right)=a_1 b_1+a_2 b_2
$

Merk op dat de uitkomst van het inproduct van twee vectoren een getal is.

De hoek tussen twee vectoren

Voor de hoek tussen de vectoren $
\underline a
$ en $
\underline b
$ geldt:

$
\cos \left( {\angle \left( {\underline a ,\underline b } \right)} \right) = \frac{{\underline a  \cdot \underline b }}{{\left| {\underline a } \right| \cdot \left| {\underline b } \right|}}
$

met $
\underline a \ne \underline 0
$ en $
\underline b \ne \underline 0
$

De hoek tussen twee lijnen

Als je de hoek wilt berekenen tussen de lijn $l$ en $k$ dan bereken je de hoek $\varphi$ tussen de richtingsvectoren van $l$ en $k$. Als de hoek stomp is dan neem je $180-\varphi$

Het inproduct en loodrechte stand

$
\underline a \cdot \underline b  = 0 \Leftrightarrow \underline a \bot  \underline b
$ met $
\underline a \ne \underline 0
$ en $
\underline b \ne \underline 0
$

Loodrecht op een vector

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
p\\
q\\
\end{array}} \right) \bot \left( {\begin{array}{*{20}c}
q\\
{-p}\\
\end{array}} \right)
$ of $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
p\\
q\\
\end{array}} \right) \bot \left( {\begin{array}{*{20}c}
{-q}\\
p\\
\end{array}} \right)
$

Normaalvector

Een normaalvector van een lijn $l$ is een vector (niet de nulvector) die loodrecht op $l$ staat.

De vector $
\underline n _l  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
a\\
b\\
\end{array}} \right)
$ is normaalvector van de lijn $l:ax+by=c$

Voorbeeld

Geef een vectorvoorstelling van de lijn $n$ door $B(5,-1)$ gaat en loodrecht staat op de lijn $m$:

$
m:\left( {\begin{array}{*{20}c}
x\\
y\\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
0\\
2\\
\end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c}
3\\
2\\
\end{array}} \right)
$

Antwoord:

$
n:\left( {\begin{array}{*{20}c}
x\\
y\\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
5\\
{-1}\\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
2\\
{-3}\\
\end{array}} \right)
$

één lijn en vier verschillende formules
van vectorvoorstelling naar vergelijking en andersom

©2004-2024 Wiskundeleraar - login