uitgewerkt

Opdracht

q14116img1.gif

Ik sta aan de oever van een brede rivier en wil graag de breedte ervan bepalen. Gelukkig staat er een boom aan de overkant.

Ik zoek twee punten $A$ en $B$ zodat de hoeken die de oever maakt met de lijn naar de voet $C$ van de boom gelijk zijn aan $\angle ABC=45°$ en $\angle BAC=60°$.

Ik meet de afstand AB. Deze afstand is gelijk aan 50 meter.

  • Bereken exact de breedte van de rivier?

Uitwerking

q14117img1.gif

In $\Delta$ASC geldt $\eqalign{\frac{AS}{CS}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{50-x}{x}}$.
Kruislings vermenigvuldigen en oplossen geeft:

$
\eqalign{
  & x = \sqrt 3  \cdot \left( {50 - x} \right)  \cr
  & x^2  = 3 \cdot \left( {50 - x} \right)^2   \cr
  & x^2  = 3\left( {2500 - 100x + x^2 } \right)  \cr
  & x^2  = 7500 - 300x + 3x^2   \cr
  & 2x^2  - 300x + 7500 = 0  \cr
  & x^2  - 150x + 3750 = 0  \cr
  & (x - 75)^2  - {\text{5625 + 3750 = 0}}  \cr
  & (x - 75)^2  - {\text{1875 = 0}}  \cr
  & (x - 75)^2  = {\text{1875}}  \cr
  & x - 75 =  - 25\sqrt {\text{3}}  \vee x - 75 = 25\sqrt {\text{3}}   \cr
  & x = 75 - 25\sqrt {\text{3}}  \vee x = 75 + 25\sqrt {\text{3}} \,\,(v.n.)  \cr
  & x = 75 - 25\sqrt {\text{3}}  \cr}
$

©2004-2024 Wiskundeleraar - login