functies met een parameter

WISKUNDE B

In sommige functievoorschriften kan je naast de variabele ook nog één of meerdere parameters vinden. Feitelijk beschrijven deze functies dan niet één functie maar een familie van functies.

Voorbeeld

Gegeven: fp(x) = x2 + px + p.
Hieronder zie je aantal grafieken van fp voor verschillende waarden van p.

q6866img1.gif

Eén functievoorschrift voor de hele familie.


Gegeven: fp(x) = x2 + px + p.

q6866img2.gif

Hierboven zie je de grafieken van f0, f-2 en g: y = x - 2. De rechte g snijdt f0 niet. De rechte g snijdt f-2 in de punten (0,-2) en (3,1). Je zou denken dat er dan ook een waarde voor p moet zijn zodat fp en g precies één snijpunt hebben. In dit geval kan je die waarde voor p misschien wel raden, maar je moet het ook kunnen berekenen.


Het berekenen van de waarde voor p zodat fp en g precies één snijpunt hebben gaat zo:

fp(x) = g(x)
x2 + px + p = x - 2
x2 + px - x + p + 2 = 0

Maar wat nu?

Je kent de ABC-formule. Het getal onder het wortelteken heet de discriminant. Afgekort noemen we dat meestal D.

Gegeven: ax2 + bx + c = 0 en D=b2 - 4ac dan geldt:

D>0: twee oplossingen
D=0: één oplossing
D<0: geen oplossingen

Wanneer heeft nu de vergelijking x2 + px - x + p + 2 =0 precies één oplossing? Als de discriminant gelijk aan nul is. Om de waarde van D te bepalen bepaal je eerst de waarde van a, b en c. Ga na dat hier geldt:

a = 1, b = p - 1 en c = p + 2 
D = (p - 1)2 - 4·1·(p + 2) = p2 - 6p - 7

D moet nul zijn, dus p2 - 6p - 7 = 0. Deze vergelijking kan je oplossen. Je vindt dan p=-1 of p=7. Die p = -1 had je misschien wel kunnen zien aankomen, maar had je ook gedacht aan p=7?

Waarschijnlijk niet!



oefening

©2004-2021 Wiskundeleraar - login