differentiaalrekening

Het differentiequotiënt

De gemiddelde verandering van N per tijdseenheid is $
\Large \frac{{\Delta N}}
{{\Delta t}}
$.

Het differentiequotiënt van y op $
\left[ {x_A ,x_B } \right]
$ is:

$
\Large \frac{{\Delta y}}
{{\Delta x}} = \frac{{y_B - y_A }}
{{x_B - x_A }}
$

Bij gegeven f(x) op [a,b]:

$
\Large \frac{{\Delta f}}
{{\Delta x}} = \frac{{f(b) - f(a)}}
{{b - a}}
$

Tijd-afstandformule

Bij een tijd-afstandgrafiek is $
\Large \frac{{\Delta s}}
{{\Delta t}}
$ de gemiddelde snelheid. Alsje de formule kent kun je de snelheid op t=a benaderen met het differentiequotiënt. Je neemt dan een klein interval [a,a+$
\Delta
$t] met bijvoorbeeld t=0,01.

Gegeven: s=2t3 met s de afgelegde weg in meter na t seconden. Gevraagd: de snelheid op t=5.

$
v(t) = \Large \frac{{\Delta s}}
{{\Delta t}}$ = $\frac{{2 \cdot 5,01^3 - 2 \cdot 5^3 }}
{{0,01}} \approx 150,3
$

De snelheid op t=5 is dus ongeveer 150 m/s

Differentiëren en raaklijnen

$
\begin{array}{l}
 f(x) = ax^n  \\
 f'(x) = n \cdot ax^{n - 1}  \\
 \end{array}
$
productregel:

$
\begin{array}{l}
 f(x) = g(x) \cdot h(x) \\
 f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\
 \end{array}
$
kettingregel:

$
\begin{array}{l}
 f(x) = g(h(x)) \\
 f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \\
 \end{array}
$
Om langs algebraische weg de formule van de raaklijn $k$ op te stellen in het punt $A$ van de grafiek van $f$ gebruik je $k:y=ax+b$ met $a=f'(x_A)$.

Je berekent $b$ door de coördinaten van $A$ in de formule van de lijn in te vullen.

q8166img1.gif

De afgeleide van $y=\sqrt{x}$ gelijk is aan:
$y=\large\frac{1}{{2\sqrt x }}$.

Voorbeeld

$
\begin{array}{l}
 f(x) = \sqrt {x^2  - 4x}  \\
 f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x^2  - 4} }} \cdot (2x - 4) \\
 f'(x) = \frac{{2x - 4}}{{2\sqrt {x^2  - 4} }} \\
 f'(x) = \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x^2  - 4} }} \\
 \end{array}
$
Extra

Hellingen, snelheden en toppen

$f'(x_A)$ is:

  • de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek van $f$ in het punt $A(x_A,f(x_A))$
  • de helling van de grafiek in het punt $A(x_A,f(x_A))$
  • de snelheid waarmee de functiewaarde verandert voor $x=x_A$

Voorbeeld 1

Gegeven is $
s = \sqrt {0,2t^2 + 4t}
$ met $t$ de tijd in seconden en $s$ de afgelegde weg in meter. Bepaal met behulp van differentiëren voor welke $t$ de snelheid 0,6 m/s is.

Voorbeeld 2

De functie $
f(x) = \sqrt {px - x^3 }
$ heeft een maximum voor $x=2$. Bereken $p$.

Zie bladzijde 155 van je boek voor de antwoorden

©2004-2020 Wiskundeleraar - login