Breuken

Ik had zo maar een voorbeeld genomen. Eerst voor het optellen van breuken en daarna met dezelfde breuken vermenigvuldigen van breuken. Ik had daarvoor $\frac{2}{3}$ en $\frac{3}{4}$ genomen. Maar ja, je moet natuurlijk samengestelde breuken kunnen vermenigvuldigen. Daarvoor had ik dan maar, om op één lijn te blijven, $2\frac{2}{3}$ en $3\frac{3}{4}$ genomen. En wat denk je? Komt gewoon 10 uit.:-)

$
\begin{array}{l}
 \frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{8}{{12}} + \frac{9}{{12}} = \frac{{17}}{{12}} = 1\frac{5}{{12}} \\
 2\frac{2}{3} + 3\frac{3}{4} = 2\frac{8}{{12}} + 3\frac{9}{{12}} = 5\frac{{17}}{{12}} = 6\frac{5}{{12}} \\
 \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{{2 \times 3}}{{3 \times 4}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2} \\
 2\frac{2}{3} \times 3\frac{3}{4} = \frac{8}{3} \times \frac{{15}}{4} = \frac{{8 \times 15}}{{3 \times 4}} = \frac{{120}}{{12}} = 10 \\
 \end{array}
$
...en dat laatste was een beetje een verrassing...:-)

Je kunt laten zien dat:

$
\left( {a + \frac{a}{{a + 1}}} \right)\left( {a + 1 + \frac{{a + 1}}{{a + 2}}} \right) = a(a + 3)
$

Dat kan zo;

$
\begin{array}{l}
 f(a) = a + \frac{a}{{a + 1}} = \frac{{a\left( {a + 2} \right)}}{{a + 1}} \\
 f(a + 1) = \frac{{\left( {a + 1} \right)^2  + 2\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right) + 1}} = \frac{{\left( {a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{a + 2}} \\
 f(a) \cdot f(a + 1) = \frac{{a\left( {a + 2} \right)}}{{a + 1}} \cdot \frac{{\left( {a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{a + 2}} = a(a + 3) \\
 \end{array}
$
Ook aardig:

$
f(a) \cdot f(a + 1) \cdot f(a + 2) = a^3  + 6a^2  + 8a
$

Of ook:

$
\begin{array}{l}
 a^2  + 3a \\
 a^3  + 6a^2  + 8a \\
 a^4  + 10a^3  + 31a^2  + 30a \\
 {\rm{a}}^{\rm{5}}  + 15a^4  + 80a^3  + 180a^2  + 144a \\
 {\rm{a}}^{\rm{6}}  + 21a^5  + 169a^4  + 651a^3  + 1198a^2  + 840a \\
 ... \\
 \end{array}
$

Of nog mooier:

$
\begin{array}{l}
 a\cdot(a + 3) \\
 a\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}2)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}4) \\
 a\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}2)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}5) \\
 a\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}2)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}4)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}6) \\
 a\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}2)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}4)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}5)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}7) \\
 ... \\
 \end{array}
$

Ik bedoel maar:

$
2\frac{2}{3} \cdot 3\frac{3}{4} \cdot 4\frac{4}{5} \cdot 5\frac{5}{6} \cdot 6\frac{6}{7} \cdot 7\frac{7}{8} \cdot 8\frac{8}{9} \cdot 9\frac{9}{{10}} = 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 12
$

©2004-2020 Wiskundeleraar - login