4. Getallen en letters

A mathematician is a person who says
that when 3 people are supposed to be in a room
but 5 came out 2 have to go in so the room gets empty.
bron: the complex plane.

q10879img1.gif

Veel 'letters' in de wiskunde zijn namen voor abstracties, je hebt 'iets' waarvan je nog niet precies ‘wat’ het is, misschien weet je er wel 'niks’ van maar je geeft het een naam en opeens heb je iets en je kan er over praten: het punt $A$, de lijn $p$, de vector $\overline v$, de matrix $A$, de gebeurtenis $W$, de bewering $P$, enz.

Het meest elementaire niveau van het gebruik van letters waar je mee kan 'rekenen' is het geven van een naam aan een vaststaand (zij het soms onbekend) getal. In plaats van te spreken over 'ik heb een getal dat...' spreek je over 'het getal a'. Je geeft dat getal (dat je nog niet kent) maar even een naam, dan weten we waar we het over hebben. Het is ongeveer hetzelfde als 'puntjessommen' of 'vleksommen'.

q10879img2.gif

In plaats van $3\cdot ...+10=19$ kan je ook schrijven $3\cdot x+10=19$ of $3x+10=19$. De 'bedoeling' is dan meestal om de (tot dan toe nog) onbekende waarde van 'x' te bepalen zodat er een 'ware bewering' ontstaat. In een dergelijk geval spreken we van 'onbekende'.

In een formule als $y = 3x+10$ hebben de letters een andere rol. Het is niet een onbekende waarde maar een hele verzameling van mogelijke waarden. In een dergelijk geval spreken we van 'variabele' of 'veranderlijke'. Met $y=3x+10$ geeft je een 'relatie' aan en in dit geval een bijzondere relatie: $y$ is een eerstegraads functie van $x$.

De ABC-formule geeft bij een gegeven kwadratische vergelijking van de vorm $ax^2+bx+c=0$ de oplossing(en) uitgedrukt in $a$, $b$ en $c$. De letters $a$, $b$ en $c$ worden 'coëfficiënten' genoemd. In één vergelijking kunnen dus zowel variabelen als coëfficiënten voorkomen.

Als ik schrijf de functie $y = ax + b$ dan vat 'iedereen' dat op als $y$ is een functie van $x$ met parameters $a$ en $b$. Voor verschillende waarden van $a$ en $b$ heb je te maken met een andere (lineaire) functie. Maar wat nu als je schrijft $p=a+u+ v$? Is $p$ nu een functie van $a$, $u$ of van $v$? En als $p$ een functie is waarom zou $u$ en $v$ of zelfs $a$ dan ook niet functies zijn? Maar het kan ook best iets heel anders zijn... misschien zijn $a$, $u$ en $v$ wel ‘constanten’.

Je kent misschien deze merkwaardige producten wel:

  • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  • $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

De 'rol' van de letters $a$ en $b$ is hier weer anders. De bewerkingen gelden niet voor een bepaalde $a$ en $b$ maar voor alle waarden voor $a$ en $b$. We noemen dit wel ‘generalisator’.

Als je zoiets schrijft:

'Als ik bij het kwadraat van dit getal vier keer hetzelfde getal optel en daar tien van aftrek dan is die uitkomst precies even groot als dat ik van dat getal eerst tien zou aftrekken, daarna het kwadraat zou nemen en er dan tien bij op zou tellen'

Dat is niet alleen ‘een lang verhaal’, maar je kunt er (waarschijnlijk) verder ook niet zo veel mee.

q10879img3.gifAls je de ‘uitspraak’ vertaalt in $x^2+4x–10=(x-10)^2+10$ dan staat er 'feitelijk' hetzelfde, maar met die laatste uitdrukking kan je wel iets. Ik wel…

Het gebruik van 'letters' stelt je in staat om bepaalde verbanden, stellingen of ideeën op een hele compacte, efficiënte en ondubbelzinnige manier op te schrijven. Je kunt nu 'als het ware' met de ‘letters gaan rekenen'. Het zijn immers getallen. Je kunt vergelijkingen oplossen en nog veel meer...

Het gebruik van letters is niet beperkt tot getallen. Je kunt functies aanduiden met letters, matrices, verzamelingen, beweringen en nog veel meer...

Met getallen kun je rekenen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen, e.d. Bij algebra doen we dat ook, alleen gebruiken we daarbij niet alleen getallen, maar ook variabelen. Men spreekt in dit geval (ten onrechte?!) wel van letterrekenen.

©2004-2019 W.v.Ravenstein