Symmetrie bij functies

Lijnsymmetrie


De grafiek van f heeft de lijn x=a als symmetrie-as als voor elke waarde van p geldt:

  • f(a+p)=f(a-p)

Met a+p en a-p beide behorend bij het domein van f

Voorbeeld

$
\eqalign{
  & f(x) = (x - 2)^4  - 2  \cr
  & Heeft\,\,als\,\,symmetrie - as:x = 2  \cr
  & Er\,\,geldt:f(2 + p) = f(2 - p)\,\,voor\,\,p \in R  \cr
  & f(2 + p) = f(2 - p)  \cr
  & (2 + p - 2)^4  - 2 = (2 - p - 2)^4  - 2  \cr
  & p^4  - 2 = \left( { - p} \right)^4  - 2  \cr
  & Klopt! \cr}
$
q3952img3.gif

 

Puntsymmetrie


De grafiek van f is puntsymmetrisch in het punt (a,b) als het gemiddelde van f(a+p) en f(a-p) gelijk is aan b voor elke waarde van p.

Met a+p en a-p behorend tot het domein van f.

Voorbeeld

$
\eqalign{
  & f(x) = \left( {x - 2} \right)^3  - 3  \cr
  & Is\,\,puntsymmetrisch\,\,in\,\,(2, - 3):  \cr
  & Er\,\,geldt:\frac{{f(2 + p) + f(2 - p)}}
{2} =  - 3  \cr
  & \frac{{\left( {2 + p - 2} \right)^3  - 3 + \left( {2 - p - 2} \right)^3  - 3}}
{2} =   \cr
  & \frac{{\left( p \right)^3  - 3 + \left( { - p} \right)^3  - 3}}
{2} =   \cr
  & \frac{{p^3  - 3 - p^3  - 3}}
{2} =   \cr
  & \frac{{ - 6}}
{2} =  - 3  \cr
  & Klopt! \cr}
$
q3952img4.gif

©2004-2019 W.v.Ravenstein