optimaliseren

In hoofdstuk 5 heb je al voorbeelden gezien van optimaliseringsproblemen. We hebben die toen opgelost met de GR. Op de voorbeelden met de afgeleide staan uitwerkingen met de afgeleide.

Bij optimaliseringsproblemen kan het bijvoorbeeld gaan om het vinden van de 'maximale oppervlakte' of het zoeken naar 'de goedkoopste oplossing'.

Afhankelijk van de vraagstelling kun je dit soort problemen oplossen met je grafische rekenmachine, met differentiëren of met algebra de exacte waarde berekenen en nog zo wat...


Voorbeeld

Een tuinder wil voor de uitbreiding van zijn bedrijf een kas laten bouwen met een grondoppervlakte van 1800m2. Deze kas wordt rechthoekig. De tuinder moet echter nog grond (perceel) kopen van de gemeente. Dit perceel moet zo groot zijn dat voor de kas 9 meter ruimte is en aan de achterkant en de zijde 3 meter. De tuinder wil natuurlijk zo min mogelijk m2 grond kopen om zijn kosten zo laag mogelijk te houden. 1 m2 kost 95 euro.

Bij welke afmeting van het perceel zijn de kosten minimaal? Hoeveel gaat de aankoop van grond de tuiner kosten en wat worden de afmetingen van de kas?

Uitwerking

Maak eerst een tekening:

q6520img1.gif

Vervolgens kun je de oppervlakte van het perceel uitdrukken in 'x' en op zoek gaan naar de kleinste oppervlakte.

$\eqalign{&O_{perceel}=lengte\times breedte\cr&O_{perceel}=\left({\frac{{1800}}{x} + 6} \right) \times \left({x+12}\right)\cr&O_{perceel}=1800+6x+\frac{{21600}}
{x}+72\cr&O_{perceel}=6x+\frac{{21600}}{x}+1872\cr}$

Met de GR

q6520img2.gifZet het functievoorschrift in je GR. Kies geschikte grenzen en gebruik G-solve en MIN om het minimum vast te stellen.

Zie tekening hiernaast. Bij x=60 is de oppervlakte van het perceel minimaal. De oppervlakte is ongeveer 2592 m2. De kosten zijn dan €246.240. De afmetingen van de kas zijn 60 bij 30 meter.

Met de afgeleide

Je kunt ook de afgeleide van de formule voor de oppervlakte bepalen. De afgeleide op nul stellen en proberen de 'zaak' op te lossen, maar daarvoor heb je de kettingregel nodig en die hebben we 'nog niet gehad'.

©2004-2020 W.v.Ravenstein