uitgewerkt voorbeeld

Gegeven de functie:
$
f(x) = x\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2
$.
Bereken de extreme waarden.

Uitwerking

Bepaal eerst de afgeleide:

$
\eqalign{
  & f(x) = x\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2   \cr
  & f'(x) = 1 \cdot \left( {\sqrt x  - 2} \right)^2  + x \cdot 2\left( {\sqrt x  - 2} \right) \cdot {1 \over {2\sqrt x }}  \cr
  & f'(x) = \left( {\sqrt x  - 2} \right)^2  + {{x\left( {\sqrt x  - 2} \right)} \over {\sqrt x }}  \cr
  & f'(x) = x - 4\sqrt x  + 4 + \sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)  \cr
  & f'(x) = x - 4\sqrt x  + 4 + x - 2\sqrt x   \cr
  & f'(x) = 2x - 6\sqrt x  + 4 \cr}
$

Vervolgens stel je de afgeleide gelijk aan nul en los je de vergelijking op:

$
\eqalign{
  & 2x - 6\sqrt x  + 4 = 0  \cr
  & Isoleren!  \cr
  &  - 6\sqrt x  =  - 2x - 4  \cr
  & 3\sqrt x  = x + 2  \cr
  & Kwadrateren!  \cr
  & \left( {3\sqrt x } \right)^2  = \left( {x + 2} \right)^2   \cr
  & 9x = x^2  + 4x + 4  \cr
  & x^2  - 5x + 4 = 0  \cr
  & (x - 1)(x - 4) = 0  \cr
  & x = 1\,\,of\,\,x = 4  \cr
  & Controleren! \cr}
$

Plot de grafiek:

q7066img1.gif

Een (lokaal) maximum bij $x=1$ en dat is $1$.
Een (lokaal) minimum bij $x=4$ en dat is $0$. 

©2004-2020 W.v.Ravenstein