goniometrische functies

$
\Large h(t) = a + b \cdot \sin \left( {c\left( {t - d} \right)} \right)
$

$h(t)$: hoogte op t
$a$: evenwichtsstand
$b$: amplitude
$c=\frac{{2\pi }}{T}$ met $T$: trillingstijd/periode
$d$: horizontale verplaatsing t.o.v. O

q131img8.gif
q131img9.gif

Goniometrische vergelijkingen

Vergelijkingen als sin(x)=p en cos(x)=p moet je algebraisch kunnen oplossen.

$
p \in \left\{ { \pm 1, \pm \frac{1}{2}\sqrt 3 , \pm \frac{1}{2}\sqrt 2 , \pm \frac{1}{2},0} \right\}
$

Daarbij gebruik je ook de formules:

$
\begin{array}{l}
\sin ( - x) = - \sin (x) \\
\cos ( - x) = \cos (x) \\
\sin ^2 (x) + \cos ^2 (x) = 1 \\
\end{array}
$

Voorbeeld

$
\begin{array}{l}
2\sin ^2 (3x) + \cos ( - 3x) = 2 \\
2\left( {1 - \cos ^2 (3x)} \right) + \cos ( - 3x) = 2 \\
2 - 2\cos ^2 (3x) + \cos ( - 3x) = 2 \\
- 2\cos ^2 (3x) + \cos ( - 3x) = 0 \\
- 2\cos ^2 (3x) + \cos (3x) = 0 \\
\cos (3x)( - 2\cos (3x) + 1) = 0 \\
\cos (3x) = 0 \vee - 2\cos (3x) + 1 = 0 \\
\cos (3x) = 0 \vee \cos (3x) = \frac{1}{2} \\
Enz... \\
\end{array}
$

Zie uitgewerkt voorbeeld

Hellingen en toppen

Het differentiëren van goniometrische functies:

$
\begin{array}{l}
f(x) = \sin (ax + b) \\
geeft \\
f'(x) = a\cos (ax + b) \\
en \\
f(x) = \cos (ax + b) \\
geeft \\
f'(x) = - a\sin (ax + b) \\
\end{array}
$
Verder gebruik je, zo nodig, de productregel en de kettingregel.

Voorbeeld

Gegeven: $
f(x) = 1+2\sin \left( {3x - \frac{1}{4}\pi } \right)
$
Gevraagd: $f'(x)$

Uitwerking

$
\begin{array}{l}
 f(x) = 1 + 2\sin \left( {3x - \frac{1}{4}\pi } \right) \\
 f'(x) = 2\cos \left( {3x - \frac{1}{4}\pi } \right) \cdot 3 \\
 f'(x) = 6\cos \left( {3x - \frac{1}{4}\pi } \right) \\
 \end{array}
$

Voorbeeld

$
\begin{array}{l}
Gegeven:\,\,f(x) = \sin (2x) \cdot \cos (x) \\
Gevraagd:de\,\,helling\,\,in\,\,x = \frac{1}{3}\pi \\
\end{array}
$

Uitgewerkt

Bepaal de afgeleide:

$
\begin{array}{l}
f(x) = \sin (2x) \cdot \cos (x) \\
f'(x) = \cos (2x) \cdot 2 \cdot \cos (x) + \sin (2x) \cdot - \sin (x) \\
f'(x) = 2 \cdot \cos (x)\cos (2x) - \sin (x) \cdot \sin (2x) \\
\end{array}
$
Vul in:

$
\begin{array}{l}
f'(\frac{1}{3}\pi)=2\cdot\cos(\frac{1}{3}\pi)\cos(2\cdot\frac{1}{3}\pi)-\sin(\frac{1}{3}\pi)\cdot\sin(2\cdot\frac{1}{3}\pi)\\
f'(\frac{1}{3}\pi)=2\cdot\cos(\frac{1}{3}\pi)\cos(\frac{2}{3}\pi)-\sin(\frac{1}{3}\pi)\cdot\sin(\frac{2}{3}\pi)\\
f'(\frac{1}{3}\pi)=2\cdot\frac{1}{2}\cdot-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3\cdot\frac{1}{2}\sqrt3\\
f'(\frac{1}{3}\pi)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot3\\
f'(\frac{1}{3}\pi)=-1\frac{1}{4}\\
\end{array}
$

©2004-2020 W.v.Ravenstein