exponentiŽle en logaritmische functies

Exponentiële vergelijkingen algebraisch oplossen

Bij een exponentiële vergelijking als:

$
3^{x + 1}  = \frac{1}{9} \cdot 27^x
$

werk je naar de vorm:

$
g^A  = g^B  \Rightarrow A = B
$

Voorbeeld

$
\begin{array}{l}
 3^{x + 1}  = \frac{1}{9} \cdot 27^x  \\
 3^{x + 1}  = \frac{1}{{3^2 }} \cdot \left( {3^3 } \right)^x  \\
 3^{x + 1}  = 3^{ - 2}  \cdot 3^{3x}  \\
 3^{x + 1}  = 3^{3x - 2}  \\
 x + 1 = 3x - 2 \\
  - 2x =  - 3 \\
 x =  1\frac{1}{2} \\
 \end{array}
$

Een vergelijking op lossen met substitutie

Los op: $
3^x  + \frac{{12}}{{3^x }} = 8
$

Gebruik de substitutie:

$
u = 3^x
$

Dan krijg je:

$
\begin{array}{l}
 u + \frac{{12}}{u} = 8 \\
 u^2  + 12 = 8u \\
 u^2  - 8u + 12 = 0 \\
 (u - 6)(u - 2) = 0 \\
 u = 6 \vee u = 2 \\
 3^x  = 6 \vee 3^x  = 2 \\
 x = {}^3\log (6) \vee x = {}^3\log (2) \\
 \end{array}
$

Exponentiële ongelijkheden

Het oplossen van een ongelijkheid:

$
3^x  < 8 - \frac{{12}}{{3^x }}
$

  • Los algebraisch deze vergelijking op:
    $
    3^x  = 8 - \frac{{12}}{{3^x }}
    $
  • Plot de grafieken van $y=3^{x}$ en $y=8 - \frac{{12}}{{3^x }}$
  • Lees het antwoord af uit je plot.

Zie hiernaast.

Voorbeeld

$
3^x < 8 - \frac{{12}}{{3^x }}
$

Vergelijking oplossen:

$
\begin{array}{l}
 3^x  = 8 - \frac{{12}}{{3^x }} \\
 u = 8 - \frac{{12}}{u} \\
 u^2  = 8u - 12 \\
 u^2  - 8u + 12 = 0 \\
 (u - 2)(u - 6) = 0 \\
 u = 2 \vee u = 6 \\
 3^x  = 2 \vee 3^x  = 6 \\
 x = {}^3\log (2) \vee x = {}^3\log (6) \\
 \end{array}
$
Grafieken plotten:

q8154img1.gif

Oplossing aflezen uit je plot:

$
{}^3\log (2) < x < {}^3\log (6)
$

Het domein van logaritmische functies

Het argument van de logaritme moet altijd groter zijn dan nul.

Voor $f(x)=^{2}log(x^{2}-2x-8)$ geldt:

$x^{2}-2x-8>0$ voor $
x <-2 \vee x > 4
$

Dus: $
D_f : <\leftarrow ,-2] \cap [4, \to  >
$

Voorbeeld

Gegeven:

$
f(x) = {}^2\log ((x - 1)(x - 2)(x - 3))
$

Wat is het domein van $f$?

Uitgewerkt

Plot de grafiek van $y=(x - 1)(x - 2)(x - 3)$

q8154img2.gif

Aflezen:

$
D_f:<1,2>\cup<3,\to>
$

©2004-2020 W.v.Ravenstein