optimaliserings-problemen

Voorbeeld 1

Gegeven is de functie f(x)=(x-4)2. Onder de grafiek tekenen we een rechthoek OABC met O(0,0) en A(p,0) met 0$\le$p$\le$4. B ligt op de grafiek van f en C ligt op de y-as.

q6514img1.gif

  1. Druk de oppervlakte van OABC uit in p.
  2. Bereken m.b.v. differentiëren de maximale oppervlakte van OABC.

Uitwerkingen

  1. O=p(p-4)2
  2. Eerst maar de afgeleide bepalen:

$\eqalign{ & O=p(p-4)^2\cr & O=p(p^2-8p+16)\cr & O=p^3-8p^2+16p\cr & O'=3p^2-16p+16\cr}$

Neem O'=0 en los de vergelijking op:


$\eqalign{&3p^2-16p+16=0\cr&p=\frac{{--16\pm\sqrt{\left({-16}\right)^2-4\cdot3\cdot16}}}{{2\cdot3}}\cr&p=\frac{{16\pm\sqrt{256-192}}}{6}\cr&p=\frac{{16\pm\sqrt{64}}}{6}\cr&p=\frac{{16\pm8}}{6}\cr&p=\frac{8}{6}\vee p=4\cr&p=1\frac{1}{3}\vee p=4\cr}$

Maak een schets van de functie:

q7058img1.gif

Kennelijk hebben we een maximum bij p=1$\frac{1}{3}$.

Bereken het maximum O(1$\frac{1}{3}$):

$
\eqalign{ & O=p(p-4)^2\cr & O=1\frac{1}{3}(1\frac{1}{3}-4)^2\cr & O=\frac{4}{3}(\frac{4}{3}-4)^2\cr & O=\frac{4}{3}(\frac{4}{3}-\frac{{12}}{3})^2\cr & O=\frac{4}{3}(-\frac{8}{3})^2\cr & O=\frac{4}{3}\cdot\frac{{64}}{9}=\frac{{256}}{{27}}=9\frac{{13}}{{27}}\cr}$

Zie ook antwoorden met de GR

Voorbeeld 2

Je hebt een rechthoekig stuk karton met afmetingen 80 cm bij 50 cm. Daaruit moet je een doos vouwen (zonder deksel!) met een zo groot mogelijke inhoud.

Je moet uit de vier hoeken van de rechthoek een stukje knippen om de doos te vormen.

q6514img6.gif

Bereken met de afgeleide hoe groot dat stukje moet zijn zodat de doos een maximale inhoud heeft.

Uitwerking

De inhoud van het doosje is gelijk aan de oppervlakte van het grondvlak maal de hoogte:

$I=G\cdot h=\left({80-2x}\right)\left({50-2x}\right)\cdot x$

Bepaal de afgeleide:

$\eqalign{&I=\left({80-2x}\right)\left({50-2x}\right)\cdot x\cr&I=\left({4000-160x-100x+4x^2}\right)\cdot x\cr&I=\left({4000-260x+4x^2}\right)\cdot x\cr&I=4000x-260x^2+4x^3\cr&I'=4000-520x+12x^2\cr}$

Neem O'(x)=0 en los de vergelijking op:

$\eqalign{&4000-520x+12x^2=0\cr&12x^2-520x+4000=0\cr&3x^2-130x+1000=0\cr&Met\,\,de\,\,abc-formule:\cr&x=\frac{{100}}{3}\vee x=10\cr}$

Maak een schets van de functie:

q7058img2.gif

Bij x=10 heb je een maximum.

Zie ook antwoorden met de GR

©2004-2020 W.v.Ravenstein