lineaire en exponentiele groei

In de wiskunde kan je verschillende groeimodellen tegen komen. In dit hoofdstuk bespreken we een aantal van die groeimodellen. Je zult tabellen tegen komen, formules en de bijbehorende grafieken.

Wortelsq7927img2.gif

"Op een stuk landbouwgrond staan 24 wortels. Elke dag poot je daar 4 wortels bij. Hoeveel wortels heb je dan na 30 dagen?"

Er komen in 30 dagen 30·4=120 wortels bij. Ik had er al 24 dus in totaal heb je dan 144 wortels.

Neem het aantal wortels $N$ en de tijd $t$ in dagen. Je kunt dan de volgende formule opstellen:

$N = 4·t + 24$

Als je $t$ weet (bijvoorbeeld $t=30$) dan kan je met de formule $N$ uitrekenen:

$N = 4·30 + 24 = 120 + 24 = 144$

Dit noemen we lineaire groei:
$N = a·t + b$
$N$ is het aantal, $a$ is de toename per tijdseenheid, $t$ is de tijd en $b$ is de beginwaarde.

De groei is constant.

Oefening 1


Dit is een voorbeeld van lineaire groei:

q7927img4.gif

Geef de formule.

Cellen

q7927img3.gifJe hebt een cel en na een uur deelt de cel zich in tweeën. Na een uur splitsen deze twee cellen zich ook weer in tweeën. Enz.

Je krijgt dan 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... Elk uur wordt het aantal vermenigvuldigd met hetzelfde getal. We noemen dat de groeifactor.

Al je dat in een tabel zet dan krijg je de volgende tabel:

q7927img1.gif

Met $t$ is de tijd in minuten en $N$ is het aantal cellen. Na 4 uur heb je 16 cellen of anders gezegd: $N=16$ op $t=4$.

Je kunt hierbij de volgende formule opstellen:
$N = 2^{t}$
Hierin is $N$ het aantal cellen en $t$ is de tijd in uren.
Na 10 uur heb je $N = 2^{10} = 1024$ cellen.

Dit noemen we exponentiële groei:
$N = b\cdot g^{t}$
$N$ is het aantal, $b$ is de beginwaarde, $g$ is de groeifactor en $t$ is de tijd.

De groei is afhankelijk van $N$.

Oefening 2


Je zet €1000 op een spaarrekening. Je krijgt 5% rente per jaar. De rente wordt jaarlijks bijgeschreven op je rekening.

Hoeveel spaartegoed heb je na 10 jaar?

TIP: dit is een voorbeeld van exponentiële groei. Stel eerst de bijbehorende formule op. Wat is de 'beginwaarde'? Wat is de 'groeifactor?

TIP: de groeifactor is 1,05

Oefening 3


Hier staat een grafiek van een exponentiëel verband.
q7927img5.gif
Laat zien dat de formule $N=10·1,25^{t}$ klopt.

©2004-2021 W.v.Ravenstein