De driehoek van Pascal

Elk getal in de driehoek van Pascal geeft het aantal kortste routes om vanuit de top op die plaats te komen.

De getallen in de $n$-de rij zijn:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
0\\
\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
1\\
\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
2\\
\end{array}} \right),...,\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
n\\
\end{array}} \right)
$

De som van de getallen in de $n$-de rij is $2^n$

De regel van Pascal

In de driehoek van Pascal is elk getal de som van de twee getallen die er schuin boven staan.

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
{k-1}\\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
k\\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n+1}\\
k\\
\end{array}} \right)
$

Binomiaalcoëfficiënten

Bij het herleiden van $(a+b)^n$ komen de getallen van de $n$-de rij van Pascal tevoorschijn.

In het algemeen geldt:

$
\left( {a + b} \right)^n  = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
k\\
\end{array}} \right)}  \cdot a^{n - k}  \cdot b^k
$

Deze formule heet het binomium van Newton. De getallen $
{\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
k\\
\end{array}} \right)}
$ heten binomiaalcoëfficiënten.

Voorbeeld 1

Laat zien dat:

$
(x - 2)^3  = x^3  - 6x^2  + 12x - 8
$

Zie uitwerking

Voorbeeld 2

Geef de coëfficiënt van de vijfde term in de uitwerking van $(2p-3q)^7$.

Antwoord

Bij de vijfde term is $k=4$. Je krijgt dan:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
7\\
4\\
\end{array}} \right) \cdot \left( {2p} \right)^3\cdot \left( { - 3q} \right)^4
$

Uitwerken geeft:

$
22680p^3 q^4
$

Het antwoord is $22680$

Multinomiaalcoëfficiënten

De coëfficiënten in de herleiding van een mulitonomium heten multinomiaalcoëfficiënten.

In de herleiding van $(p+q+r)^7$ is de binomiaalcoëfficiënt van $p^4q^2r$ gelijk aan:

$\left( {\begin{array}{*{20}c}
7\\
{4,2,1}\\
\end{array}} \right) =$ = $\Large\frac{{7!}}{{4! \cdot 2! \cdot 1!}}$

De herleiding van $(p+q+r)^7$ kan met de sigma-notatie worden geschreven als:

$
(p + q + r)^7  = \sum\limits_{i + j + k = 7}^{} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
7\\
{i,j,k}\\
\end{array}} \right)}\cdot p^i q^j r^k
$

...en dat is aan de vage kant:-)

Voorbeeld 3

Bereken de coëfficiënt van $a^2b^3c^4$ is de herleiding van $(3a+b-2c)^9$.

Antwoord

$
\begin{array}{l}
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
9\\
{2,3,4}\\
\end{array}} \right) \cdot \left( {3a} \right)^2\cdot b^3\cdot \left( { - 2c} \right)^4\\
 \frac{{9!}}{{2! \cdot 3! \cdot 4!}} \cdot 9a^2\cdot b^3  \cdot 16c^4  \\
 {\rm{181440}}a^2 b^3 c^4  \\
 \end{array}
$
De coëfficiënt is $181440$.