Voorbeeld 2

Gegeven is het volgende stelsel differentievergelijkingen:

$
\left\{ \begin{array}{l}
x_n=x_{n-1}+2y_{n-1}\\
y_n=-x_{n-1}+4y_{n-1}\\
\end{array} \right.
$

• Stel de directe formule op van $x_n$

Uitwerking

Het plan is om $x_n$ uit te drukken in $x_{n-1}$ en $x_{n-2}$ Omdat het om een tweede orde differentievergelijking gaat neem ik voor $x_n$ eerst maar 's een stapje hoger:

Maak van $
x_n=x_{n-1}+2y_{n-1}
$ eerst:

• $x_{n+1}=x_n+2y_n$

Je hebt dan:

$
\left\{ \begin{array}{l}
x_{n+1}=x_n+2y_n\\
y_n=-x_{n-1}+4y_{n-1}\\
\end{array} \right.
$

Als je tweede vergelijking invult in de eerste vergelijking dan krijg je:

$
\begin{array}{l}
x_{n+1}=x_n+2\left({-x_{n-1}+4y_{n-1}}\right)\\
x_{n+1}=x_n-2x_{n-1}+8y_{n-1}\\
\end{array}
$

Nu moet je die term met $y_{n-1}$ wegwerken. Dat kan met de eerste vergelijking uit de opgave.

Maak van $
x_n=x_{n-1}+2y_{n-1}
$ eerst:

• $2y_{n-1}=x_n-x_{n-1}$

Je krijgt dan:

$
\left\{ \begin{array}{l}
x_{n+1}=x_n-2x_{n-1}+8y_{n-1}\\
2y_{n-1}=x_n-x_{n-1}\\
\end{array} \right.
$

Vul de tweede vergelijking in de eerste vergelijking in:

$
\begin{array}{l}
x_{n+1}=x_n-2x_{n-1}+4\left({x_n-x_{n-1}}\right)\\
x_{n+1}=x_n-2x_{n-1}+4x_n-4x_{n-1}\\
x_{n+1}=5x_n-6x_{n-1}\\
 \end{array}
$
Bijna goed... alleen wel graag uitgedrukt in $x_n$. Dat kan ook:

$
x_n=5x_{n-1}-6x_{n-2}
$

Dit is een differentievergelijking van de tweede orde en die kan je oplossen op de manier van voorbeeld 1.

Je weet $x_0=10$ en $y_0=20$, maar wat is dan $x_1$?

Gebruik de eerste vergelijking in de opgave en je vindt:

• $x_0=10$ en $x_1=10+2\cdot20=50$

Zie uitwerking