$aantal=\pmatrix{n-1+k\\k}$

Uitleg

Neem aan dat je 10 snoepjes wilt verdelen over 4 kinderen en dat dit met herhaling is en de volgorde er niet toe doet. Dat is een voorbeeld van een herhalingscombinatie.

Je kunt de 10 snoepjes voorstellen als 10 puntjes:

..........

Je kunt nu met 3 paaltjes de 10 snoepjes in 4 groepjes verdelen:

.|..|...|....

Het 1e kind krijgt 1 snoepje, het 2e kind twee, enz... Nog een aantal mogelijke rijtjes:

..|||........
...|.......||
|||..........

Uiteindelijk heb je dan 13 tekens waarvan er 10 een puntje zijn en 3 paaltjes. Hoeveel van die rijtjes kan je maken? Dat is een combinatie!

Dat zijn $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{13} \\
{10} \\
\end{array}} \right) = 286
$ mogelijkheden.

In de formule is 'n-1' dus het aantal paaltjes, 'n-1+k' het aantal tekens en 'k' is dan het aantal puntjes:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n - 1 + k} \\
k \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{4 - 1 + 10} \\
{10} \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{13} \\
{10} \\
\end{array}} \right) = 286
$

Uitleg 2

Stel je 's voor dat je 4 snoepjes wilt verdelen over 10 kinderen. Ook weer met herhaling en waarbij de volgorde er niet toe doet. Volgens de formule:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n - 1 + k} \\
k \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{10 - 1 + 4} \\
4 \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{13} \\
4 \\
\end{array}} \right) = 715
$

Je hebt nu 4 puntjes en 9 paaltjes om de zaak in 10 groepjes te verdelen:

.||..|||.||||

Twee kinderen krijgen één snoepje en één kind krijgt er twee en de rest krijgt niks.

Er zijn nu 13 tekens waarvan er 4 puntjes zijn en 9 paaltjes. Dat is dan een combinatie van 4 uit 13:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{13} \\
4 \\
\end{array}} \right) = 715
$

...en zo zit dat dan...