De afgeleide van f(x)=xⁿ

Algemeen:

• De afgeleide van $f(x)=x^n$ is:
  $f'(x)=n\cdot x^{n - 1}$ voor $n \in R$.

Daarmee kan je de afgeleide bepalen van gebroken functies en wortelfuncties:

$
\eqalign{
  & f(x) = \frac{1}
{{x^2 }}  \cr
  & g(x) = \sqrt x   \cr
  & h(x) = \frac{2}
{{\root 3 \of {x^2 } }}  \cr
  & k(x) = \frac{{x^3  - 4}}
{{3x}} \cr}
$

Zie voorbeelden uitgewerkt

Raaklijnen en toppen bij gebroken functies

Bij functies met gebroken vergelijking kan je de afgeleide gebruiken om raaklijnen, raakpunten en extremen te berekenen.

Voorbeeld

Gegeven $\eqalign{f(x)=\frac{{x^3-1}}{x}}$

• In welke punten is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan 3?
• Bereken de extreme waarde(n).

Zie uitgewerkt voorbeeld

De afgeleide van f(x)=xⁿ voor elke n van R

De afgeleide van $f(x)x^n$ is $f'(x)=nx^{n-1}$ voor elke $n$ van $R$

Afspraak

Bij het differentiëren mag je in het antwoord alleen gebroken exponenten laten staan als de functie zelf ook met gebroken exponenten is gegeven.

Stappenplan:

• Zet eerst de wortels om in gebroken exponenten.
• Zet de machten in de noemer in de teller. Die worden dan negatief.
• Schrijf in de standaardvorm.
• Dan kan je met de hoofdregel differentieren.
• Zet de negatieve machten in de teller in de noemer. De exponent wordt positief.
• Schrijf de gebroken exponenten als wortels.

De afgeleide van $y=\sqrt{x}$

Je kunt de afgeleide van f(x)=$\sqrt{x}$ bepalen door $\sqrt{x}$ te schrijven een gebroken macht.

$
\eqalign{
  & f(x) = \sqrt x  = x^{\frac{1}
{2}}   \cr
  & f'(x) = \frac{1}
{2}x^{ - \frac{1}
{2}}   \cr
  & f'(x) = \frac{1}
{2} \cdot \frac{1}
{{x^{\frac{1}
{2}} }}  \cr
  & f'(x) = \frac{1}
{2} \cdot \frac{1}
{{\sqrt x }} = \frac{1}
{{2\sqrt x }} \cr}
$

Maar 'echt handig' is dat niet.
Je kunt ook onthouden dat de afgeleide van $\sqrt{x}$ gelijk is aan $\eqalign{\frac{1}{{2\sqrt x }}}$.

Wij noemen dat dan een standaard afgeleide.

Voorbeelden

$
\eqalign{
  & f(x) = \root 7 \of {x^{16} }   \cr
  & f(x) = x^{2\frac{2}
{7}}   \cr
  & f'(x) = 2\frac{2}
{7}x^{1\frac{2}
{7}}   \cr
  & f'(x) = 2\frac{2}
{7}\root 7 \of {x^9 }  \cr}
$

$
\eqalign{
  & f(x) = \frac{3}
{{x^3 }}  \cr
  & f(x) = 3x^{ - 3}   \cr
  & f'(x) = 3 \cdot  - 3x^{ - 4}   \cr
  & f'(x) =  - 9x^{ - 4}   \cr
  & f'(x) =  - \frac{9}
{{x^4 }} \cr}
$