Bernoulli-experiment

Een Bernoulli-experiment is een kansexperiment waarbij je alleen op de gebeurtenis 'succes' en 'mislukking' let.

Een binomiaal kansexperiment is een kansexperiment dat bestaat uit $n$ gelijke Bernoulli-experimenten.

Bij een binomiaal toevalsvariabele $X$ met parameters $n$ en $p$ is de kans op $k$ keer succes gelijk aan:

$
P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
k\\
\end{array}} \right)\cdot p^k\cdot \left( {1 - p} \right)^{n - k}
$

De verwachtingswaarde $E(X)=n\cdot p$

Voorbeeld

Je gooit met 6 dobbelstenen.

• Wat is de kans op 2 keer zes ogen?

Antwoord

$X$ is binomiaal verdeeld met $p=\frac{1}{6}$ en $n=6$

$
P(X = 2) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
6\\
2\\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\frac{1}{6}} \right)^2\cdot \left( {\frac{5}{6}} \right)^4\approx {\rm{0}}{\rm{,201}}
$

Berekenen van binomiale kansen

Uit een vaas met 4 rode en 6 witte knikkers worden aselect, met teruglegging, drie knikkers getrokken. De stochast $X$ is het aantal rode knikkers.

$P(X=0)={3\choose0}\cdot0,4^0\cdot0,6^3=0,216$
$P(X=1)={3\choose1}\cdot0,4^1\cdot0,6^2=0,432$
$P(X=2)={3\choose2}\cdot0,4^2\cdot0,6^1=0,288$
$P(X=3)={3\choose3}\cdot0,4^3\cdot0,6^0=0,064$

De kansverdeling staat hieronder weergegeven als staafdiagram:

Je kunt nu ook allerlei andere kansen uitrekenen:

• $P(X\le 2)$
• $P(X>1)$
• $P(0\lt X\lt3)$

Hier is dat een beetje flauw maar bij grotere waarden van $n$ kunnen dat soort berekeningen als snel veel werk worden.

Met je GR kan je de kansen van de binomiale verdeling ook uitrekenen. Dat is wel zo handig...:-)

De binomiale verdeling en de GR

Je kunt binomiale kansen uitrekenen met je GR via het run-matrix-menu en via statistics.

Via het run-matrix-menu:

• De binomiale verdeling

Via statistics:

• De binomiale verdeling

Berekenen van n

Hoe vaak moet je met een dobbelsteen gooien zodat de kans op minstens vier keer zes ogen te gooien groter is dan $0,95$?

Om $n$ te berekenen gebruik je het Table-menu van je GR:

• De waarde van $n$ berekenen bij de binomiale verdeling

Notaties en berekeningen

• $P(X=4)$
• $P(X\le 4)$
• $P(X<4)$
• $P(X>4)$
• $P(2< X\le 7)$
• $P(2\le X <10$
• $P(3\le X \le 8)$
• $P(X<3\vee X>6)$

Zie uitwerking

Multinomiale verdeling

Als een kansexperiment $k$ verschillende uitkomsten heedt met kansen $p_1, ..., p_k$ met $p_1+...+p_k=1$ op deze uitkomsten en $X$ is het aantal keren dat de uitkomst $i$ verkregen wordt in $n$ onafhankelijke uitvoeringen van het experiment, dan geldt:

$
P(X_1 = x_1 ,...,X_k = x_k ) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
{x_1,...,x_k }\\
\end{array}} \right)\cdot p_1^{x_1 }\cdot ...\cdot p_k^{x_k }
$