Opgave

Gegeven zijn de lijnen $k:2x-y=4$ en $l:x-3y=-3$. Het snijpunt van de lijnen is A. Het punt B(5,6) ligt op $k$.

1. Bereken de hoek tussen $k$ en $l$
2. Bereken exact $d(A,B)$
3. Bereken exact $d(B,l)$

Uitwerking a.

$\eqalign{
  & k:2x - y = 4 \to k:y = 2x + 4  \cr
  & \tan \alpha  = 2 \to \alpha  \approx 63,43...^\circ   \cr
  & l:x - 3y =  - 3 \to y = \frac{1}{3}x + 1  \cr
  & \tan \beta  = \frac{1}{3} \to \beta  \approx 18,43...^\circ   \cr
  & \angle (k,l) \approx 63,43...^\circ  - 18,43...^\circ  = 45^\circ  \cr} $

Uitwerking b.

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x - y = 4\\
x - 3y =  - 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2x - y = 4\\
2x - 6y =  - 6
\end{array} \right.\\
5y = 10\\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 2\\
x = 3
\end{array} \right.\\
A(3,2)\\
d(A,B) = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5
\end{array}$

zie bladzijde 77 van het boek

Uitwerking c.

De lijn $m$ gaat door $B$ en staat loodrecht op $l$. De richtingscoëfficiënt $rc|_m=-3$.

Invullen van $B(5,6)$ in $y=-3x+b$ geeft:

$m:y=-3x+21$

Bereken de coördinaten van $C$, het snijpunt van $l$ en $m$.

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
y =  - 3x + 21\\
x - 3y =  - 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
y =  - 3x + 21\\
x - 3\left( { - 3x + 21} \right) =  - 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
y =  - 3x + 21\\
x + 9x - 63 =  - 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
y =  - 3x + 21\\
10x = 60
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 3\\
x = 6
\end{array} \right.\\
C(6,3)\\
d(B,l) = d(B,C) = \sqrt {{{\left( {6 - 5} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2}}  = \sqrt {10}
\end{array}$