Voorbeeld met n = 4. De som is 1/2n(n2 + 1) = 34. Tovervierkanten waren in de Middeleeuwen gebruikelijke onderwerpen der rekenkunstenaars. Men vindt bijgaand m. op de ets Melencolia van Albrecht Dürer. (Uit: Oosthoeks Encyclopedie (deel 9 blz.540 6dedruk - 1968)) Hieronder zie je een uitvergroting van het magische vierkant uit bovengenoemde ets. Ernaast staat het magisch vierkant nog een keer. Je ziet dat de som van de rijen en de kolommen plus de som van de twee diagonalen allemaal 34 zijn:
Maar er zitten nog veel meer bijzonderheden in bovenstaand magisch vierkant. Als het vierkant verdeeld in vier vakken, is de som van die vier getallen in zo'n vierkantje ook steeds 34.
Bij een 4x4 magisch vierkant zijn ook steeds de volgende blauwe vakjes samen 34:
Met behulp van die eigenschappen moet je de volgende magische vierkanten verder in kunnen vullen: Opdracht 1Vul onderstaande magische vierkanten verder in: Klik HIER voor een handig excel-werkblad. Opdracht 2
Misschien dat nu de indruk gewekt wordt dat je dit soort dingen alleen kan doen met de getallen 1 tot en met 16. Niets is minder waar.
Algoritme voor oneven vierkanten
Voor oneven magische vierkanten bestaat een eenvoudig algoritme om de getallen op de juiste plaats te krijgen. Neem aan dat we een 3 × 3 vierkant willen maken met de getallen 1 tot en met 9. We beginnen met een 3 × 3 vierkant, waarbij we links, rechts, boven, onder, linksboven, rechtsboven, linksonder en rechtsonder het vierkant nog een keer neer zetten. Maar laten we niet op de zaken vooruit lopen. We beginnen met het kleinste getal (1) in het midden onderaan. De plaats van het volgende getal (2) kun je bepalen door twee hokjes omhoog en één hokje naar rechts te gaan, de "paardesprong". Als een getal in een vakje buiten het vierkant valt, neem je het overeenkomstige vakje in het vierkant. Als je op een vakje terecht komt dat al bezet is kies je het vakje direct boven het vakje waar je vandaan kwam. (Op de plek waar 4 zou moeten komen staat al 1.) Zo ga je door tot het hele vierkant gevuld is. Uiteindelijk raakt het hele vierkant gevuld. Je bent klaar zodra je het laatste getal hebt ingevuld. Dit algoritme werkt voor alle oneven vierkanten. Helaas levert dit algoritme niet alle mogelijke magische vierkanten op. Gelukkig zijn er andere manieren om te controleren of een vierkant magisch is.
Opdracht 3Gebruik bovenstaand algoritme om een magisch vierkant te maken van 5 × 5 met de getallen 1 tot en met 25. Maak ook een magisch vierkant van 7 × 7 m.b.v. het algoritme. Eigenschappen van vierkanten van 5 × 5Voor het oplossen van gewone magische vierkanten van 5 × 5 is het nuttig te weten dat:
Je kunt dit controleren bij je oplossing van opdracht 3. Opdracht 4Gebruik bovengenoemde eigenschappen om de volgende magische vierkanten op te lossen. Er onder staat steeds wat de som van de rijen en kolommen is. Klik HIER voor een handig excel-werkblad. Zet je antwoorden in een worddocument en zet dat in je map.
|