Lineaire differentievergelijking van de tweede orde Een recursieve formule van de vorm: $u_n=a\cdot u_{n-1}+b\cdot u_{n-2}$ met $b\ne 0$ is een lineaire differentievergelijking van de tweede orde. De term $u_n$ is uitgedrukt in de twee voorafgaande termen. Voor het opstellen van de directe formule van de rij substitueer je $u_n=g^n$ in de differentievergelijking. Voorbeeld 1 Gegeven: $u_n=u_{n-1}+2u_{n-2}$ met $u_0=5$ en $u_1=4$
|
Opstellen van de directe formule Het opstellen van de directe formule bij de rij
met startwaarden $u_0$ en $u_1$:
|
Stelsels differentievergelijkingen Beschouw een stelsel van lineaire differentievergelijkingen van deze vorm:
$ Hieruit kan je een lineaire differentievergelijking van de tweede orde afleiden. Met behulp van de startwaarden $x_0$ en $y_0$ kan je een directe formule opstellen. |
Voorbeeld 2 Gegeven is het volgende stelsel differentievergelijkingen met $x_0=10$ en $y_0=20$:
$ Stel de directe formule op van $x_n$ |
(*) In het geval $D\lt0$ zijn de oplossingen complex. In deel 4 leer je hoe je in dit geval de directe formule opstelt.