Lineaire differentievergelijking van de tweede orde

Een recursieve formule van de vorm:

$u_n=a\cdot u_{n-1}+b\cdot u_{n-2}$ met $b\ne 0$

is een lineaire differentievergelijking van de tweede orde. De term $u_n$ is uitgedrukt in de twee voorafgaande termen.

Voor het opstellen van de directe formule van de rij substitueer je $u_n=g^n$ in de differentievergelijking.

Voorbeeld 1

Gegeven:

$u_n=u_{n-1}+2u_{n-2}$ met $u_0=5$ en $u_1=4$

• Geef de directe formule.

Zie uitwerking voorbeeld 1

Opstellen van de directe formule

Het opstellen van de directe formule bij de rij

• $u_n=a\cdot u_{n-1}+b\cdot u_{n-2}$

met startwaarden $u_0$ en $u_1$:

1. Substitueren van $u_n=g^n$ geeft de karakterisrieke vergelijking
   $g^2-ag-b=0$ met $D=a^2+4b$
2. Is $D\gt0$ dan zijn er twee reële oplossingen $g_1$ en $g_2$ en is de directe formule van de vorm:
   $u_n=A\cdot(g_1)^n+B\cdot(g_2)^n$
3. Is $D=0$ dan is er één reële oplossing $g$ en is de directe formule van de vorm:
   $u_n=(A+Bn)\cdot g^n$
4. Is $D\lt0$ dan zijn er geen reële oplossingen.^(*)
5. Je berekent $A$ en $B$ met behulp van de startwaarden $u_0$ en $u_1$

Stelsels differentievergelijkingen

Beschouw een stelsel van lineaire differentievergelijkingen van deze vorm:

$
\left\{ \begin{array}{l}
x_n=a\cdot x_{n-1}+b\cdot y_{n-1}\\
y_n=c\cdot x_{n-1}+d\cdot y_{n-1}\\
\end{array} \right.
$

Hieruit kan je een lineaire differentievergelijking van de tweede orde afleiden. Met behulp van de startwaarden $x_0$ en $y_0$ kan je een directe formule opstellen.

Voorbeeld 2

Gegeven is het volgende stelsel differentievergelijkingen met $x_0=10$ en $y_0=20$:

$
\left\{ \begin{array}{l}
x_n=x_{n-1}+2y_{n-1}\\
y_n=-x_{n-1}+4y_{n-1}\\
\end{array} \right.
$

Stel de directe formule op van $x_n$

• Zie uitwerking voorbeeld 2