Een prooi-roofdiermodel

Gegeven is het prooi-roofdiermodel:

$
\left\{ \begin{array}{l}
P_t=1,1\cdot P_{t-1}-0,0005\cdot P_{t-1}\cdot R_{t-1}\\
R_t=0,85\cdot R_{t-1}+0,0003\cdot P_{t-1}\cdot R_{t-1}\\
\end{array} \right.
$

  1. Neem $P_0 = 500$ en $R_0=200$
    Verklaar het verloop van de aantallen roofdieren en prooidieren.
  2. Neem $P_0=500$ en $R_0=100$
    Bereken wanneer het totaal aantal dieren (prooidieren én roofdieren) voor het eerst meer dan 1000 is.

©hhofstede.nl
Ga naar Recursion en vul de formules in zoals hier staat aangegeven. q10844img1.gif
Zet de instelling en de startwaarden goed. q10844img2.gif
Klik op TABLE en je krijgt deze tabel... eh... q10844img3.gif

Tekenen helpt ook niet...

Verklaring

Dit is een evenwichtswaarde. Je kunt het narekenen...

$
\begin{array}{l}
\overline P = 1,1\cdot\overline P - 0,0005\overline P \cdot\overline R \\
R = 200 \\
\overline R = 0,85\cdot\overline R + 0,0003\overline P \cdot\overline R \\
P = 500 \\
\end{array}
$

 q10844img4.gif
Neem $b_0=100$ en maak weer een tabel. q10844img5.gif
Nu gebeurt er iets... q10844img6.gif

De GPH-CON dan maar... Waarschijnlijk moet je nog wel je V-WINDOW aanpassen.

X=0..200
Y=0..2000

 q10844img7.gif
In de tabel kan je kijken wanneer $a_{n+1}+b_{n+1}$ voor 't eerst groter dan 1000 zijn. Dat is bij $t=13$. Dat kan uit je hoofd. q10844img8.gif
Als je 't niet gelooft... kan je je tabel ook nog in lijsten zetten en dan bij Statistic de kolommen 2 en 3 op laten tellen in kolom 4... en... $t=13$ dus... q10844img9.gif