De inverse matrix

Bij een vierkante matrix $A$ kan precies één matrix $B$ horen waarvoor geldt: $A·B=B·A=I$. Hierbij is $I$ een eenheidsmatrix. Matrix $B$ is de inverse matrix of kortweg de inverse van $A$. Notatie $B=A^{-1}$

Er geldt: $A·A^{-1}=A^{-1}·A=I$

Voorbeeld

In opgave 50 heb je gezien dan je de inverse matrix van

$\left({\begin{array}{*{20}c}1&4\\2&9\\\end{array}}\right)$

kan je vinden door de gereduceerde rij-echelon van

$\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&4\\2&9\\\end{array}}\right|\begin{array}{*{20}c}1&0\\0&1\\\end{array}}\right)$

te berekenen.

Een stelsel oplossen met de inverse

Bij het stelsel $\left\{\begin{gathered}x+4y=23\\2x+9y=51\\\end{gathered}\right.$ kan je schrijven:

$\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&4\\2&9\\\end{array}}\right|\begin{array}{*{20}c}1&0\\0&1\\\end{array}}\right)\to$

$\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&4\\0&1\\\end{array}}\right|\begin{array}{*{20}c}1&0\\{-2}&1\\\end{array}}\right)\to$

$\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&0\\0&1\\\end{array}}\right|\begin{array}{*{20}c}9&{-4}\\{-2}&1\\\end{array}}\right)$

Dat is wat de inverse doet.... terugrekenen! Als de inverse bestaat dan kan je daarmee de oplossing vinden. Je krijgt:

$\left({\begin{array}{*{20}c}1&4\\2&9\\\end{array}}\right)^{-1}=\left({\begin{array}{*{20}c}9&{-4}\\{-2}&1\\\end{array}}\right)$
$\left({\begin{array}{*{20}c}x\\y\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{20}c}9&{-4}\\{-2}&1\\\end{array}}\right)\cdot\left({\begin{array}{*{20}c}{23}\\{51}\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{20}c}3\\5\\\end{array}}\right)$

De oplossing is $(x,y)=(3,5)$

Op die manier kun je bij elk stelsel lineaire vergelijkingen de oplossing berekenen, mits de inverse matrix van coëfficiëntenmatrix bestaat.

Een stelsel oplossen met de inverse

De oplossing van het stelsel:

$A\cdot\left({\begin{array}{*{20}c}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{...}\\{x_m}\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{20}c}{b_1}\\{b_2}\\{b_3}\\{...}\\{b_m}\\\end{array}}\right)$

is

$\left({\begin{array}{*{20}c}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{...}\\{x_m}\\\end{array}}\right)=A^{-1}\cdot\left({\begin{array}{*{20}c}{b_1}\\{b_2}\\{b_3}\\{...}\\{b_m}\\\end{array}}\right)$

Voorwaarde is dat de inverse $A^{-1}$ van de coëfficiëntenmatrix $A$ bestaat.

De inverse matrix $A^{-1}$ gaat eenvoudig met de GR. Gebruik daarvoor de x^-1-toets.

De inverse matrix is ook te gebruiken om bij overgangsmatrices 'in de tijd terug te rekenen'.

Voorbeeld

Gegeven: $A=\left({\begin{array}{*{20}c}2&3&p\\{2p}&1&2\\1&4&p\\\end{array}}\right)$

• Bereken voor welke $p$ geldt $|A|=0$

Uitwerking

$|A|=2p+6+8p^2-p-16-6p^2=2p^2+p-10$
Met $|A|=0$  geeft dit:

$2p^2+p-10=0$
$2p^2+5p-4p-10=0$
$p(2p+5)-2(2p+5)=0$
$(p-2)(2p+5)=0$
$p=2$ of $p=-2\frac{1}{2}$

Voor $p=2$ en voor $p=-2\frac{1}{2}$ is $|A|=0$.

Determinanten

• De determinant van de matrix
  $A=\left({\begin{array}{*{20}c}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\\\end{array}}\right)$
  is
  $|A|=a_{11}·a_{22}-a_{12}·a_{21}$.
• Als $|A|\ne0$ dan heeft het stelsel
  $A\cdot\left({\begin{array}{*{20}c}{x_1}\\{x_2}\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{20}c}{b_1}\\{b_2}\\\end{array}}\right)$
  één oplossing.
• Als $|A|=0$ dan heeft het stelsel geen of oneindig veel oplossingen.

Ook bij vierkante matrices van een hogere orde dan 2×2 hoort een determinant.

De determinant van
$A=\left({\begin{array}{*{20}c}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}\\\end{array}}\right)$
is
$\left|A\right|=a_{11}\left({a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}}\right)-a_{12}\left({a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}}\right)+a_{13}\left({a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}}\right)$

Een vlotte manier...

• Zie de deteriminant van een 3×3-matrix