Exponentiele vergelijkingen

Op WisFaq stond een vraag over de oplossing van een exponentiele vergelijking. Ik weet niet helemaal zeker wat nu precies de vraag was en 't leek later ook weer anders, maar ik had het gelezen als:

De vergelijking $5^{x - 1}  + 5^{2x - 1}  = 4$ heeft als oplossing $x = {}^5\log (4)$. Is dat nu toevallig? Of is dat altijd zo?

Er zijn er meer:

• $7^{x - 1}  + 7^{2x - 1}  = 6 \to x = {}^7\log (6)$
• $9^{x - 1} + 9^{2x - 1} = 8 \to x = {}^9\log (8)$
• $13^{x - 1}  + 13^{2x - 1}  = 12 \to x = {}^{13}\log (12)$

Maar er zijn ook anderen:

• $6^{x - 1}  + 6^{2x - 1}  = 22 \to x = {}^6\log (11)$
• $10^{x - 1}  + 10^{2x - 1}  = 21 \to x = {}^{10}\log (14)$
• $10^{x - 1}  + 10^{2x - 1}  = 24 \to x = {}^{10}\log (15)$
• $15^{x - 1}  + 15^{2x - 1}  = 6 \to x = 2 \cdot {}^{15}\log (3)$

Dus nee, dat is niet altijd zo. Maar misschien wel als het rechterlid 1 kleiner is dat het grondtal?

En wat denk je? Voor $a\gt1$:

$a^{x - 1}  + a^{2x - 1}  = a - 1\to x = {}^a\log (a - 1)$.

Bewijs

$
\begin{array}{l}
 a^{x - 1}  + a^{2x - 1}  = a - 1 \\
 a^{2x - 1}  + a^{x - 1}  = a - 1 \\
 a^{2x}  + a^x  = a^2  - a \\
 \left( {a^x  + \frac{1}{2}} \right)^2  - \frac{1}{4} = a^2  - a \\
 \left( {a^x  + \frac{1}{2}} \right)^2  = a^2  - a + \frac{1}{4} \\
 a^x  + \frac{1}{2} = a - \frac{1}{2} \\
 a^x  = a - 1 \\
 x = {}^a\log (a - 1) \\
 \end{array}
$
Ik bedoel maar. Er is altijd veel meer te ontdekken dan je denkt.