Wiskundeleraar

4. cirkels, raaklijnen en afstanden

Cirkelvergelijkingen

De vergelijking voor de cirkel $c$ met middelpunt $M$ en straal $r$ is gelijk aan:

${\left( {x - {x_M}} \right)^2} + {\left( {y - {y_M}} \right)^2} = {r^2}$

Voorbeeld 1

Onderzoek met een berekening of het punt $A(1,-1)$ op, binnen of buiten de cirkel $c:x^2+y^2-8x-4y+3=0$ ligt.

Uitwerking

Je kunt met kwadraatafsplitsen de vergelijking van $c$ schrijven in de standaardvorm :

$\eqalign{
& {x^2} + {y^2} - 8x - 4y + 3 = 0 \cr
& {x^2} - 8x + {y^2} - 4y + 3 = 0 \cr
& {(x - 4)^2} - 16 + {\left( {y - 2} \right)^2} - 4 + 3 = 0 \cr
& {(x - 4)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 17 \cr} $

Het middelpunt is $M(4,2)$ en $r=\sqrt{17}$.

$d(A,M)=\sqrt{18}$ en dat is groter dan $r$ dus $A$ ligt buiten $c$.

Cirkels en raaklijnen

Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt
De afstand van het raakpunt tot het middelpunt van de cirkel is gelijk aan de straal

Er zijn 3 raaklijnproblemen:

Stel een vergelijking op van de cirkel $c$ als het middelpunt van de cirkel gegeven is en een lijn waaraan $c$ raakt.
Stel een vergelijking op van de lijn $l$ als de cirkel gegeven is en een punt op de cirkel waar $l$ de cirkel raakt.
Stel een vergelijking op van de lijn $k$ als de cirkel waaraan $k$ raakt gegeven is en de richting van $k$.

Voorbeeld 2

Stel een vergelijking op van de cirkel $c_1$ met middelpunt $M(3,-2)$ die de lijn $k:x+3y=7$ raakt.
Stel een vergelijking op van de lijn $l$ die de cirkel $c_2:(x+2)^2+(y+1)^2=17$ raakt in het punt $B(2,0)$.
Gegeven is de cirkel $c_3:x^2+y^2-2x-4y=0$. Bereken voor welke waarden van $b$ de lijn $y=2x+b$ de cirkel raakt.

Zie uitwerking voorbeeld 2

Werkschema

Het opstellen van een vergelijking van een raaklijn $k$ aan een cirkel $c$ met middelpunt $M$ in een gegeven punt $A$ op $c$.

Bereken de richtingscoëfficiënt $rc_l$ van de lijn $l$ door $M$ en $A$.
Gebruik $k\bot l$, dus $rc_k\cdot rc_l=-1$ om de richtingscoëfficiënt $rc_k$ van $k$ te berekenen.
Gebruik $rc_k$ en de coördinaten van $A$ om een vergelijking van $k$ op te stellen.

Zie b. van voorbeeld 2

Zie ook lijnen en cirkels

Cirkels en afstanden

Bij een cirkel $c$ met middelpunt $M$ en straal $r$ geldt:

Voor $A$ binnen $c$: $d(A,c)=r-d(M,A)$
Voor $B$ buiten $c$: $d(B,c)=d(M,B)-r$

Voor de afstand van 2 cirkels $c_1$ en $c_2$ met middelpunten $M$ en $N$ geldt:

$d(c_1,c_2)=d(M,N)-r_1-r_2$

Voorbeeld 3

Gegeven is de cirkel $c:x^2+y^2-8x-4y+10=0$ en de lijn $k:x+3y=-10$.

Bereken exact $d(k,c)$

Zie uitwerking voorbeeld 3

Home Vorige

Terug Home