De parabool als conflictlijn 4
Gegeven is de parabool met top $(0,0)$ en brandpunt $F(p,0)$. De richtlijn $r$ heeft als vergelijking $r:x=-p$. Voor een willekeurig punt $P$ op de parabool geldt:
$
\eqalign{
& d\left( {P,F} \right) = d\left( {P,r} \right) \cr
& \sqrt {(x - p)^2 + y^2 } = p + x \cr
& (x - p)^2 + y^2 = \left( {p + x} \right)^2 \cr
& x^2 - 2px + p^2 + y^2 = p^2 + 2px + x^2 \cr
& y^2 = 4px \cr}
$
Je kunt $(y-b)^2=4p(x-a)$ opvatten als een translatie van $y^2=4px$ over de vector $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
b \\
\end{array}} \right)
$. Er geldt:
- Top $(a,b)$
- Brandpunt $F(p+a,b)$
- Richtlijn $r:x=-p+a$
Voorbeeld
Gegeven $
4y + 4x - x^2 - 16 = 0
$
- Geef de coördinaten van het brandpunt en een vergelijking van de richtlijn.
Uitgewerkt
$
\eqalign{
& 4x + 4y - y^2 - 16 = 0 \cr
& y^2 - 4y = 4x - 16 \cr
& (y - 2)^2 - 4 = 4x - 16 \cr
& \left( {y - 2} \right)^2 = 4x - 12 \cr
& \left( {y - 2} \right)^2 = 4\left( {x - 3} \right) \cr
& p = 1 \cr}
$
- Top $(3,2)$
- Brandpunt $F(4,2)$
- Richtlijn $r:x=2$
