Actueel
Archief
Culinair
Didactiek
Documentatie
Etalage
Formules
Fotoboeken
Functies
Geschiedenis
ICT
ICTauteur
Laatste nieuws
Lesmateriaal
Muziek
Natuur
Onderwijs
Ontspanning
Persoonlijk
Probleemaanpak
Proeftuin
Puzzels
Rekenen
Rekenmachines
Ruimtemeetkunde
Schoolwiskunde
Snippers
Systeem
Taal van de wiskunde
Vergelijkingen
Verhalen
WisFaq
WisKast




6. voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid

Voorwaardelijke theoretische kansen

$P(B | A)$ is de kans op $B$ onder de voorwaarde $A$.

$
P\left( {B|A} \right)$=$\Large\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}
$ waarbij $
P\left( A \right) \ne 0
$

Voorbeeld 1

In een onderzoek onder 185 studenten, blijken er 91 geschiedenis te studeren en 75 biologie. 37 studenten doen beiden.

We onderscheiden de volgende gebeurtenissen:

  • $G$: student studeert geschiedenis
  • $B$: student studeert biologie

Bereken $P(G|B)$ en $P(B|G)$

Antwoord

$
P\left( {G \cap B} \right) = \frac{{37}}{{185}}
$, $
P\left( G \right) = \frac{{91}}{{185}}
$ en $
P\left( B \right) = \frac{{75}}{{185}}
$

$
\begin{array}{l}
 P\left( {G|B} \right) = \frac{{\frac{{37}}{{185}}}}{{\frac{{75}}{{185}}}} = \frac{{37}}{{75}} \approx {\rm{0}}{\rm{,493}} \\
 {\rm{P}}\left( {B|G} \right) = \frac{{\frac{{37}}{{185}}}}{{\frac{{91}}{{185}}}} = \frac{{37}}{{91}} \approx {\rm{0}}{\rm{,407}} \\
 \end{array}
$

Onafhankelijke gebeurtenissen

$A$ en $B$ zijn onafhankelijke gebeurtenissen betekent:

$P(A|B)=P(A)$

Voorbeeld 2

q7891img1.gif

We onderscheiden de volgende gebeurtenissen:

  • $A$: leerlingen is een jongen
  • $B$: leerling is 15 of 16 jaar

Bereken $P(A|B)$ en $P(A)$. Welke conclusie kun je daar uit trekken?

Antwoord

$P(A|B)=\frac{11}{22}=\frac{1}{2}$ en $P(A)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$. De gebeurtenissen $A$ en $B$ zijn niet onafhankelijk.

De regel van Bayes

Voor de gebeurtenissen $A$ en $B$ bij een kansexperiment geldt:

$
P\left( {B|A} \right)
$=$
\Large\frac{{P\left( {A|B} \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}}
$

Voorbeeld 1

Van een groep van 1000 studenten gaat 20% op wintersport. Van de studenten die op wintersport gaan komt 1% terug met een been in het gips. In totaal zijn er 4 studenten met een been in 't gips.

  • Hoeveel procent van de studenten die zijn been gebroken heeft is op wintersport geweest?

Antwoord voorbeeld 1

$
\begin{array}{l}
 P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A|B} \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}} \\
 A:breekt\,\,been \\
 B:gaat\,\,op\,\,w{\mathop{\rm int}} ersport \\
 P(A|B) = \frac{2}{{200}} = 0,01 \\
 P(B) = \frac{{200}}{{1000}} = 0,2 \\
 P(A) = \frac{4}{{1000}} = 0,004 \\
 P(B|A) = \frac{{0,01 \cdot 0,2}}{{0,004}} = 0,5 \\
 \end{array}
$
Van de studenten die hun been gebroken hebben is 50% op wintersport geweest....

Wow:-)

©2004-2024 W.v.Ravenstein