Actueel
Archief
Culinair
Didactiek
Documentatie
Etalage
Formules
Fotoboeken
Functies
Geschiedenis
ICT
ICTauteur
Laatste nieuws
Lesmateriaal
Muziek
Natuur
Onderwijs
Ontspanning
Persoonlijk
Probleemaanpak
Proeftuin
Puzzels
Rekenen
Rekenmachines
Ruimtemeetkunde
Schoolwiskunde
Snippers
Systeem
Taal van de wiskunde
Vergelijkingen
Verhalen
WisFaq
WisKast




2. hogeregraadsvergelijkingen

Het aantal oplossingen van xn=a

n is even
a$>$0

q6883img1.gif


2 oplossingen

n is oneven
a$>$0

q6883img3.gif

1 oplossing

n is even
a$<$0

q6883img2.gif

geen oplossing

n is oneven
a$<$0

q6883img4.gif


1 oplossing

Voorbeelden

$
\eqalign{
&x^6=80\cr
&x=\root6\of{80}\vee x=-\root6\of{80}\cr
&x\approx2,08\vee x\approx-2,08\cr}
$
$
\eqalign{
&2x^7=20\cr
&x^7=10\cr
&x=\root7\of{10}\approx1,39\cr}
$
$
\eqalign{
&4x^{10}+10=6\cr
&4x^{10}=-4\cr
&x^{10}=-1\cr}
$
geen oplossing
$
\eqalign{
&\frac{2}
{3}x^3=-2\cr
&x^3=-6\cr
&x=\root3\of{-6}\approx-1,82\cr}
$

Hogeremachtswortels herleiden

Wortels die mooi uitkomen moet je herleiden. Bij het algebraisch oplossen van de vergelijking $3(2x+1)^6=192$ ga je net zo te werk als bij het oplossen van $3x^6=192$.

$
\eqalign{
  & 3\left( {2x + 1} \right)^6  = 192  \cr
  & \left( {2x + 1} \right)^6  = 64  \cr
  & 2x + 1 = 2 \vee 2x + 1 =  - 2  \cr
  & 2x = 1 \vee 2x =  - 3  \cr
  & x = {1 \over 2} \vee x =  - 1{1 \over 2} \cr}
$

Hogeregraadsvergelijkingen en ontbinden in factoren

Vergelijkingen als 12x4=2x3 kan je oplossen met behulp van ontbinden in factoren.

Voorbeeld

$
\eqalign{
&12x^4=2x^3\cr
&12x^4-2x^3=0\cr
&2x^3\left({6x-1}\right)=0\cr
&2x^3=0\vee6x-1=0\cr
&x^3=0\vee6x=1\cr
&x=0\vee x=\frac{1}
{6}\cr}
$

Hogeregraadsvergelijkingen en substitutie

De vergelijking $x^4-x^2-2=0$ is algebraisch op te lossen met een substitutie. Neem voor $x^2$ bijvoorbeeld $y$. Je krijgt dan:

$x^4-x^2-2=0$
Neem $y=x^2$
$y^2-y-2=0$
$(y-2)(y+1)=0$
$y=2$ of $y=-1$
Nu weer terug
$x^2=2$ of $x^2=-1$ (v.n)
$x=-\sqrt{2}$ of $x=\sqrt{2}$

Voorbeeld 2

$
\eqalign{
&2x^7-4x^3=0\cr
&2x^3\left({x^4-2}\right)=0\cr
&2x^3=0\vee x^4-2=0\cr
&x^3=0\vee x^4=2\cr
&x=0\vee x=\root4\of2\vee x=-\root4\of2\cr}
$

©2004-2024 W.v.Ravenstein