©2012 wiskundeleraar.nl

5. goniometrische vergelijkingen

Stel je voor dat je deze goniometrische vergelijking wil oplossen:

$\sin(\alpha)=\frac{1}{2}$

De vraag is dan wat is de waarde van $\alpha$ zodat de $\sin(\alpha)$ gelijk aan $\frac{1}{2}$ is.

Je wist waarschijnlijk al dat de $\sin(30^o)$ gelijk is aan een $\frac{1}{2}$. In radialen is dat gelijk aan $\frac{1}{6}\pi$, dus je weet (in ieder geval) dat $\frac{1}{6}\pi$ een oplossing is.

In de grafiek is het punt $A(\frac{1}{6}\pi,\frac{1}{2})$ aangegeven...


q11654img3.gif


Maar er zijn nog veel meer hoeken die een sinus hebben gelijk aan een $\frac{1}{2}$. Punt B, C en zelfs D.

q11654img4.gif

Kortom: er zijn oneindig veel oplossingen. Er zijn zelfs twee verschillende verzamelingen met een oneindig aantal oplossingen.

De vraag is nu: hoe kan je dat oneindig aantal oplossingen opschrijven en kan je er dan nog wel mee rekenen?


q11654img5.gif
q11654img6.gif


Voorbeeld

We gaan de vergelijking $2·\sin(3\alpha)+4=5$ oplossen

Stap 1

$
\eqalign{
  & 2 \cdot \sin (3\alpha ) + 4 = 5  \cr
  & 2 \cdot \sin (3\alpha ) = 1  \cr
  & \sin (3\alpha ) = \frac{1}
{2} \cr}
$


Stap 2

We weten dat $\frac{1}{6}\pi$, maar dan ook $2\frac{1}{6}\pi$ en $4\frac{1}{6}\pi$, ... maar ook $-1\frac{5}{6}\pi$ en $-3\frac{5}{6}\pi$... allemaal een sinus van een $\frac{1}{2}$ hebben.

Je kunt dit kort opschrijven als:

$\frac{1}{6}\pi+k·2\pi$ met $k\in Z$.

Maar $\frac{5}{6}\pi$ was ook goed. Op dezelfde manier schrijf je dan:

$\frac{5}{6}\pi+k·2\pi$ met $k\in Z$


Stap 3:

$
\eqalign{
  & 2 \cdot \sin (3\alpha ) + 4 = 5  \cr
  & 2 \cdot \sin (3\alpha ) = 1  \cr
  & \sin (3\alpha ) = \frac{1}
{2}  \cr
  & 3\alpha  = \frac{1}
{6}\pi  + k \cdot 2\pi  \vee 3\alpha  = \frac{5}
{6}\pi  + k \cdot 2\pi  \cr}
$

We zijn er bijna. Je moet nu nog links en rechts delen door 3. Bedenk daarbij dat je dan alle termen moet delen door 3...


Stap 4:

$
\eqalign{
  & 2 \cdot \sin (3\alpha ) + 4 = 5  \cr
  & 2 \cdot \sin (3\alpha ) = 1  \cr
  & \sin (3\alpha ) = \frac{1}
{2}  \cr
  & 3\alpha  = \frac{1}
{6}\pi  + k \cdot 2\pi  \vee 3\alpha  = \frac{5}
{6}\pi  + k \cdot 2\pi   \cr
  & \alpha  = \frac{1}
{{18}}\pi  + k \cdot \frac{2}
{3}\pi  \vee \alpha  = \frac{5}
{{18}}\pi  + k \cdot \frac{2}
{3}\pi  \cr}
$

Opgelost!


Soms is het domein gegeven en moet je achteraf bepalen welke waarden voor $\alpha$ in het domein voldoen aan de vergelijking. In onderstaand document kan je er meer lezen over het oplossen van goniometrische vergelijkingen, voorbeelden bekijken, tips en truuks...

Volgende Vorige
Terug Home
Login View