` Wiskundeleraar
©2012 wiskundeleraar.nl

1. voorkennis

Kansen en combinaties

Bij een kansexperiment met uitkomsten die alle even waarschijnlijk zijn  is de kans op een gebeurtenis $G$ gelijk aan:

$\eqalign{P(G)=\frac{N(gunstige\,uitkomsten)}{N(mogelijke\,uitkomsten)}}$

Bij veel kansberekeningen kan het handig zijn om het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een vaas. Je maakt dan een vaasmodel bij het probleem.

De somregel

Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen $A$ en $B$ geldt:

  • $P(A\,of\,B)=P(A)+P(B)$

De complementregel

Voor een gebeurtenis $A$ geldt:

  • $P(A)=1-P(niet\,A)$

Mickey Mouse formule

In een vaas bevinden zich $a$ witte en $b$ niet-witte knikkers. Je pakt er $n$ knikkers uit. De kans op $k$ witte knikkers is dan

$
P(X = k) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
k \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
b \\
{n - k} \\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{a + b} \\
n \\
\end{array}} \right)}}
$


Voorbeeld 1

In een vaas zitten negen rode, acht witte en zeven blauwe knikkers. Je pakt (geheel willekeurig en zonder terugleggen) zes knikkers uit de vaas,

  • Bereken de kans op vier rode en twee witte knikkers.

Uitwerking

$ \begin{gathered} P(4{\text{ }}rode{\text{ }}en{\text{ }}2{\text{ }}witte) = \frac{{N(gunstige{\text{ }}uitkomsten)}} {{N\left( {mogelijke{\text{ }}uitkomsten} \right)}} \\ P(4{\text{ }}rode{\text{ }}en{\text{ }}2{\text{ }}witte) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c} 9 \\ 4 \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 8 \\ 2 \\ \end{array} } \right)}} {{\left( {\begin{array}{*{20}c} {24} \\ 6 \\ \end{array} } \right)}} \approx 0,026 \\ \end{gathered} $


Voorbeeld 2

In een klas zitten 16 jongens en 13 meisjes. Een docent kiest willekeurig vijf leerlingen uit de klas.

  • Bereken de kans op minstens twee jongens.

Uitwerking

$\begin{array}{l}
 X:{\rm{aantal\,jongens}} \\
 P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0 \vee X = 1) \\
 P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \\
 P(X \ge 2) = 1 - \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {13}  \\
   5  \\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {29}  \\
   5  \\
\end{array}} \right)}} - \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {16}  \\
   1  \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {13}  \\
   4  \\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {29}  \\
   5  \\
\end{array}} \right)}} \\
 \end{array}$


Volgende

Terug Home

Login View