het vaasmodel en de productregel

Knikkers uit een vaas

In een vaas zitten 12 witte en 8 rode knikkers. Je pakt hieruit 4 knikkers zonder terugleggen. Wat is de kans op 3 witte knikkers?

Antwoord

Als je niet op de volgorde let, dan zijn er
$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{12} \\
3 \\
\end{array}} \right)
$ manieren om 3 van de 12 witte knikkers te pakken.
Er zijn $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
8 \\
1 \\
\end{array}} \right)
$ manieren om 1 van de 8 rode knikkers te pakken.
In totaal zijn er dus $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{12} \\
3 \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
8 \\
1 \\
\end{array}} \right)
$ manieren om 3 witte en 1 rode knikker uit de vaas te pakken.
In totaal zijn er $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{20} \\
4 \\
\end{array}} \right)
$ manieren om 4 knikkers uit de vaas te pakken.

P(3 wit en 1 rood)=$
\frac{{\left({\begin{array}{*{20}c}
{12}\\
3\\
\end{array}}\right)\cdot\left({\begin{array}{*{20}c}
8\\
1\\
\end{array}}\right)}}{{\left({\begin{array}{*{20}c}
{20}\\
4\\
\end{array}}\right)}}=\Large\frac{{352}}{{969}}
$

Meerdere kleuren

In een vaas zitten 5 rode, 4 groene en 1 blauwe knikker. Je pakt 3 knikkers uit de vaas zonder terugleggen. Bereken de kans op 3 verschillende kleuren.

Antwoord

$P(X=3)=\frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
5\\
1\\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
4\\
1\\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
1\\
1\\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{10}\\
3\\
\end{array}} \right)}} = \frac{1}{6}
$

Voorbeeld

Bij een loterij zijn 40 loten verkocht. Er zijn 3 eerste prijzen en 7 tweede prijzen. Je koopt 3 loten.

  • Bereken de kans op 1 eerste prijs en 2 tweede prijzen.

Antwoord

$
P(G) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
3\\
1\\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
7\\
2\\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{40}\\
3\\
\end{array}} \right)}} \approx 0,006
$

Kansbomen en de productregel

Kansexperimenten die uit twee of meer experimenten bestaan die elkaar op geen enkele manier beinvloeden heten onafhankelijke kansexperimenten.

Je kunt daarbij gebruik maken van een kansboom. De kansen langs de takken kan je dan vermenigvuldigen.

Voorbeeld:
Je gooit met een munt en een dobbelsteen.

q5194img1.gif

Gebeurtenis $A$: je gooit met de munt kop
Gebeurtenis $B$: je gooit 5 ogen met de dobbelsteen

De gebeurtenissen $A$ en $B$ zijn onafhankelijk.

Onafhankelijke gebeurtenissen

Twee gebeurtenissen $A$ en $B$ zijn onafhankelijk als:

$
P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)
$

In het voorbeeld van de 'munt en de dobbelsteen' geldt:

$P(A)$=$\frac{1}{2}$
$P(B)$=$\frac{1}{6}$
$P(A\cap B)$=$\frac{1}{12}$

Iets anders...

  • Wat zou $P(A\cup B)$ zijn?

Iemand geeft als antwoord:

De kans op kop is een $\frac{1}{2}$, de kans op vijf is $\frac{1}{6}$. Het is een OF-kans, dus de kans op een kop of vijf is gelijk aan $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$. Denk maar aan de somregel.

  • Welke 'denkfout' maakt deze persoon?

HINT

$
P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)
$

 Zie ook hypergeometrische verdeling

extra opgaven

©2004-2020 Wiskundeleraar - login