9. Een goniometrische vergelijking oplossen
Opgave
Gegeven: $
\cos \left( {2\pi t} \right) = \cos \left( {\frac{1}
{6}\pi t} \right)
$
- Los op voor $t\in [0,\pi]$
Uitwerking
$
\eqalign{
& \cos \left( {2\pi t} \right) = \cos \left( {\frac{1}
{6}\pi t} \right) \cr
& 2\pi t = \frac{1}
{6}\pi t + k \cdot 2\pi \vee 2\pi t = - \frac{1}
{6}\pi t + k \cdot 2\pi \cr
& t = \frac{1}
{{12}}t + k \vee t = - \frac{1}
{{12}}t + k \cr
& \frac{{11}}
{{12}}t = k \vee \frac{{13}}
{{12}}t = k \cr
& t = \frac{{12}}
{{11}}k \vee t = \frac{{12}}
{{13}}k \cr}
$
$
\eqalign{t = 0 \vee t = \frac{{12}}
{{13}} \vee t = \frac{{12}}
{{11}} \vee t = 1\frac{11}
{{13}} \vee t = \,2\frac{2}
{{11}} \vee t = \,2\frac{{10}}
{{13}}}
$
Toelichting
Qua aanpak kan je met de 'standaardaanpak' goed uit de voeten. Je moet natuurlijk wel begrijpen dat door het delen je geen $\pi$ meer hebt in het antwoord. Je moet met breuken kunnen rekenen. Je moet ook niet vergeten alle oplossingen te vermelden. Het interval van $t$ met die $\pi$ er in is misschien wel een beetje flauw, maar vooruit, we zijn hier om iets te leren.
Begrip en inzicht
Ik heb vorig jaar de weinig succevolle pogingen om de eenheidscirkel te bespreken beperkt. Het vinden van de hoeken doen we tegenwoordig met de GR. Dat gaat ongeveer zo:
- Bereken welke hoek er hoort bij de gegeven sinus of cosinus met je grafische rekenmachine*. Dat geeft je de 1e hoek. Zeg dat dat hoek $\alpha$ is.
- De tweede hoek kan je dan gemakkelijk vinden met $\pi-\alpha$ bij de sinus en met $2\pi-\alpha$ bij de cosinus.
- Je hebt dan twee fundamenteel verschillende oplossingen waarmee je verder kan rekenen.
Zie Het oplossen van goniometrische vergelijkingen voor een uitgebreide handleiding, uitleg en voorbeelden (PDF).
- Meer over het oplossen van goniometrische vergelijkingen voor HAVO wiskunde B kan je vinden op goniometrische vergelijkingen.
- Problemen als op Waarom volgt mijn boek hier niet de regels die ik ken? doen zich met deze aanpak niet voor.
- Het is nog wel zaak de leerlingen te wijzen op van negatieve hoeken naar positieve hoeken
* De CASIO fx-CG 20 geeft bij de 'mooie hoeken' de exacte antwoorden.