1. machten en wortels

Machten met negatieve exponenten

Hieronder zie je nog een keer de rekenregels voor machten:

  • $
    a^p \cdot a^q = a^{p + q}
    $
  • $
    \left( {a^p } \right)^q = a^{pq}
    $
  • $
    \left( {ab} \right)^p = a^p \cdot b^p
    $
  • $
    \frac{{a^p }}
    {{a^q }} = a^{p - q}
    $

Negatieve exponenten

De laatste rekenregel verdient nog enige aandacht. Volgens deze regel zou 25 gedeeld door 25 gelijk moeten zijn aan 20. Maar er zou eigenlijk 1 uit moeten komen. Kennelijk is 20=1. Op dezelfde manier kan je aantonen:

$
a^0=1\,\,met\,\,a\ne0
$

Volgens dezelfde regel:

$
\frac{{2^3}}
{{2^5}}=2^{3-5}=2^{- 2}
$

Kennelijk kunnen exponenten negatief zijn!?

$
\frac{{2^3 }}
{{2^5}}=\frac{{2\cdot2\cdot 2}}
{{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}}=\frac{1}
{{2^2}}
$

Dus kennelijk is $
2^{-2}=\large \frac{1}
{{2^2}}
$. Meer in 't algemeen geldt:

$
\Large a^{-p}=\frac{1}
{{a^p}}
$

Formules met machten herleiden

De formule $\eqalign{y=3(2x^2)^5·\frac{4}{x^{12}}}$ kun je schrijven in de vorm $y=ax^n$. Je gebruikt daarnbij de rekenregels voor machten.

$
\eqalign{
  & y = 3\left( {2x^2 } \right)^5  \cdot \frac{4}
{{x^{12} }}  \cr
  & y = 3 \cdot 2^5  \cdot \left( {x^2 } \right)^5  \cdot 4 \cdot x^{ - 12}   \cr
  & y = 3 \cdot 32 \cdot x^{10}  \cdot 4 \cdot x^{ - 12}   \cr
  & y = 384x^{ - 2}  \cr}
$

Voorbeeld

Schrijf $
y = 40 \cdot 3^{ - 2x + 1}
$  in de vorm $y=b·g^x$

Uitwerking

$
\eqalign{
  & y = 40 \cdot 3^{ - 2x + 1}   \cr
  & y = 40 \cdot 3^{ - 2x}  \cdot 3^1   \cr
  & y = 40 \cdot \left( {3^{ - 2} } \right)^x  \cdot 3  \cr
  & y = 120 \cdot \left( {\frac{1}
{{3^2 }}} \right)^x   \cr
  & y = 120 \cdot \left( {\frac{1}
{9}} \right)^x  \cr}
$

Formules met hogeremachtswortels

Sommige hogeremachtswortels komen mooi uit.
Zo is $
\root 3 \of {125}  = 5
$, want $5^3=125$.

Merk op dat $
\root 3 \of { - 125}  =  - 5
$. Immers $(-5)^3=-125$

Maar $\sqrt{-9}$ bestaat niet, want er is geen getal dat in het kwadraat $-9$ oplevert. Om dezelfde reden bestaat $
\root 4 \of { - 16}
$ niet. Een getal tot de vierde macht is niet negatief.

In 't algemeen

Bestaat $
\root n \of a
$ ?

Als $a\ge0$ dan ja. Voor $a\lt0$ alleen als $n$ is oneven.

Rekenregel

$
\eqalign{\root n \of {A \cdot B}  = \root n \of A  \cdot \root n \of B}
$

Machten met gebroken exponenten

De rekenregels voor machten gelden ook als p en q breuken zijn. Dus je kunt bijvoorbeeld schrijven:

$
2^{\frac{1}
{2}}  \cdot 2^{\frac{1}
{2}}  = 2^1  = 2
$

Maar dat is hetzelfde als:

$
\sqrt 2  \cdot \sqrt 2  = 2
$

Meer in het algemeen geldt:

$
a^{\frac{1}
{q}}  = \root q \of a \,\,\,en\,\,\,a^{\frac{p}
{q}}  = \root q \of {a^p } \,\,\,met\,\,a > 0
$

Door gebruik te maken van deze regel kan je soms handig rekenen, herleiden en vereenvoudigen.

©2004-2020 W.v.Ravenstein