0. voorkennis

Het differentiequotiënt

Het differentiequotiënt van y op $
\left[ {x_A ,x_B } \right]
$ is:

  • de gemiddelde verandering van $y$ op $[x_A,x_B]$
  • de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de lijn $AB$
  • $\Large \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{y_B  -  y_A }}{{x_B  -  x_A }}$

Het differentiequotiënt van $f(x)$ op het interval $[a,b]$ is gelijk aan:

$\eqalign{\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

Snelheid en richtingscoëfficiënt

Bij een tijd-afstandformule benader je de snelheid op een tijdstip $t=a$ met het differentiequotiënt op het interval $[a,a+\Delta t]$ met (bijvoorbeeld) $\Delta t=0,01$ of $\Delta t=0,001$

In een tijd-afstandgrafiek is de snelheid op gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt.

$
\eqalign{\left[ {{{dy} \over {dx}}} \right]_{x = x_A }}
$ is:

  • de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek in $A$
  • de helling van de grafiek in $A$
  • de snelheid waarmee $y$ verandert voor $x=x_A$

Hellingsgrafiek en afgeleide functie

De hellingsfunctie van $f$ geeft bij elke $x$ de helling van de grafiek van $f$  in dat punt.

De grafiek van de hellingfunctie heeft de hellingsgrafiek.

Een ander woord voor hellingfunctie is afgeleide functie of afgeleide.

Uit de gegeven grafiek van $f$ kun je bijzonderheden van de hellingsgrafiek afleiden:

  • Bij een dalend deel van de grafiek van $f$ horen negatieve hellingen, de hellingsgrafiek ligt daar onder de $x$-as
  • In een top van de grafiek van $f$ is de helling nul. De hellingsgrafiek snijdt de $x$-as.
  • Bij een stijgend deel van de grafiek van $f$ horen positieve hellingen, dus de hellingsgrafiek ligt daar boven de $x$-as,.

In een buigpunt van de grafiek van $f$ is de helling mimimaal dan wel maximaal. Een buigpunt van de grafiek van $f$ geeft derhalve een top bij de hellingsgrafiek.

Regels voor de afgeleide

Het berekenen van de formule van de afgeleide heet differentiëren.

Regels voor het diffferentiëren:

  • De afgeleide van $f(x)=a$ is gelijk aan $f'(x)=0$
  • De afgeleide van $f(x)=ax$ is gelijk aan $f'(x)=a$
  • De afgeleide van $f(x)=ax^2$ is gelijk aan $f'(x)=2ax$
  • ...

De hoofdregel:

  • de afgeleide van $f(x) = x^n$ is $f'(x) = nx^{n - 1}$.

Machtsfuncties

Een machtsfunctie heeft de vorm $f(x)=ax^n$

De functie $f$ is een standaardfunctie. De bijbehorende grafiek is een standaardgrafiek.

Bij even waarden van $n$ is de grafiek (lijn-)symmetrisch met de $y$-as. Bij oneven waarden van $n$ is de grafiek puntsymmetrisch met de oorsprong als punt van symmetrie.

  • Zie grafieken hieronder.

Voorbeeld

Je kunt $f(x)=\frac{1}{2}(3x-4)^5-6$ opvatten als een transformatie van de standaardgrafiek $y=x^5$.

  • Schets de grafiek
  • Geef de coördinaten van het snijpunt van $f$ met de $y$-as

Zie voorbeeld uitgewerkt

q8151img1.gifq8151img3.gif

©2004-2020 W.v.Ravenstein