afstanden en vectoren

De afstand van een punt tot een vlak

De afstand van het punt $
P\left( {x_P ,y_P ,z_P } \right)
$ tot het vlak $
V:ax + by + cz = d
$ is:

$
d(P,V) =
$ $
\Large\frac{{\left| {ax_P  + by_P  + cz_P  - d} \right|}}{{\sqrt {a^2  + b^2  + c^2 } }}
$

Voorbeeld 1

q10738img1.gif

Gegeven is de kubus $ABCD.EFGH$ met ribbe 4. Het punt $M$ is het midden van $CG$.

  • Bereken $d(F,BMH)$

Zie uitwerking voorbeeld 1

De afstand van een punt tot een lijn

Het berekenen van de afstand van een punt $P$ tot een lijn $l$ met behulp van vectoren:

  1. Breng door $P$ het vlak $V$ aan dat loodrecht op $l$ staat.
  2. Bereken de coördinaten van het snijpunt $A$ van $V$ en $l$.
  3. Bereken $d(P,l)=PA$

Voorbeeld 2

Van driehoek $ABC$ is $A(-3,0,3)$, $B(3,1,-1)$ en $C(0,1,1)$.

  • Bereken $d(A,BC)$

Zie uitwerking voorbeeld 2

Voorbeeld 3

Teken een kubus ABCO·DEFG met de x as langs OA, de y as langs OC en de z as langs OG. De ribbe van de kubus is 2. Als P het midden is van ribbe FG en Q het midden van ribbe BC.

  • Bereken dan de afstand van het punt P tot de lijn AQ.

Zie uitwerking voorbeeld 3

©2004-2021 W.v.Ravenstein