ontbinden voor gevorderden

In het voortgezet onderwijs leer je doorgaans de product-som-methode voor het ontbinden in factoren van kwadratische formules. Meestal gaat het daarbij vooral om formules van de vorm x²+bx+c. Dat zou de indruk kunnen wekken dat ontbinden van bijvoorbeeld 2x²-5x-3 niet ‘zo maar’ kan. Maar wat denk je? Dat kan ook!

Voorbeeld

Als ik 2x²-5x+3 wil ontbinden in factoren dan vermenigvuldig ik 2 en 3. Dat is 6. Net als bij de product-som-methode ga ik op zoek naar twee getallen die vermenigvuldigd 6 zijn en opgeteld -5. Dat zijn de getallen -2 en -3.

We nemen dus -2 en -3:

2x² - 5x + 3 =
2x² - 2x - 3x + 3 =
2x(x - 1) - 3(x - 1)=
(2x - 3)(x - 1)

Dus dat kan ook.

Voorbeeld 2

6x² - x – 1
Het product is -6 en de som is -1. Dat zijn dan de getallen -3 en 2.
6x² - x -1 =
6x² - 3x + 2x – 1 =
3x(2x - 1) + 1(2x - 1)=
(3x + 1)(2x - 1)

Nu heb je waarschijnlijk wel gezien dat de ‘volgorde’ van de ‘gesplitste term’ niet belangrijk is.

Opgaven

1. 3x² - x - 2
2. 4x² - 4x + 1
3. 2x² - 3x - 2
4. 12x² - x - 1

Toepassing

Een rechthoek met een lengte van 2x+5 en een breedte x heeft een oppervlakte van 75. Bereken de omtrek.

Uitwerking

$
\eqalign{
  & x\left( {2x + 5} \right) = 75  \cr
  & 2x^2  + 5x - 75 = 0  \cr
  & 2x^2  - 10x + 15x - 75 = 0  \cr
  & 2x(x - 5) + 5(x - 5) = 0  \cr
  & (2x + 5)(x - 5) = 0  \cr
  & 2x + 5 = 0 \vee x - 5 = 0  \cr
  & x =  - 7\frac{1}
{2} \vee x = 5 \cr}
$
De omtrek is 40.

©2004-2024 W.v.Ravenstein