alternatieve oplossing

Opdracht

  • Bereken exact de afstand van het punt $M(5,5)$ tot de lijn $k:3x+2y=12$.

Tekening

q12071img1.gif

  • Die $\sqrt{13}$ is precies de straal van de kleinste cirkel die je kan trekken met middelpunt $M(5,5)$ en die precies raakt aan de lijn $k:3x+2y=12$.

Uitwerking

Stel een formule op voor de afstand tussen het punt en de lijn uitgedrukt in $x$.  Bepaal met behulp van de afgeleide de minimale afstand. Dat lijkt lastig vanweg de wortel, maar meestal valt dat mee. De wortel speelt bij het bepalen van het minimum geen rol...devil

  • $n:y=-1\frac{1}{2}x+6$
  • $d(A,n)=\sqrt{(x-5)^2+(-1\frac{1}{2}x+6-5)^2}$
  • $d(A,n)=\sqrt{(x-5)^2+(-1\frac{1}{2}x+1)^2}$
  • $d(A,n)=\sqrt{3\frac{1}{4}x^2-13x+26}$

$d(A,n)$ is minimaal als $3\frac{1}{4}x^2-13x+26$ minimaal is. Dus de afgeleide. De afgeleide is $6\frac{1}{2}x-13$. De afgeleide is nul bij $x=2$. Dat is inderdaad een mimimum. Je krijgt:

  • $d(A,n)=\sqrt{3\frac{1}{4}·2^2-13·2+26}=\sqrt{13}$

Ik vind het een mooie oplossing...angel

"De afstand tussen twee meetkundige figuren is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk tussen die figuren."

©2004-2020 W.v.Ravenstein