2. exponentiŽle groeiformules

Groeipercentages omzetten naar een andere tijdseenheid

Als $g$ de groeifactor is per tijdseenheid dan is de groeifactor per $n$ tijdseenheden gelijk aan $g^{n}$. Dat geldt ook voor niet-gehele $n$.

Als de groeifactor per uur bijvoorbeeld $1,25$ is dan is de groeifactor:

  • per 3 uur: $1,25^{3}$
  • per dag: $1,25^{24}$
  • per half uur: $1,25^{\frac{1}{2}}$
  • per minuut: $1,25^{\frac{1}{60}}$

Het omrekenen van een groeipercentage naar een andere tijdseenheid doe je met groeifactoren.

Een hoeveelheid neemt toe met 2,5% per uur. Met hoeveel procent neemt de hoeveelheid toe per dag?

De groeifactor per dag: $1,025^{24}\approx 1,809$
De hoeveelheid neemt toe met $80,9$% per dag.

Een formule opstellen bij exponentiële groei

Als je bij exponentiële groei op twee tijdstippen de hoeveelheid kent dan kan je een formule opstellen.

Voorbeeld

Is N=82 voor t=5 en N=246 voor t=12 dan:

  • groeifactor per 7 uur: $\frac{246}{82}$=3
  • groeifactor per uur: $3^{\frac{1}{7}}\approx 1,170$
  • Formule: $N=b\cdot 1,170^{t}$
    Vul in: $t=5$ en $N=82$
    $b\cdot 1,170^{5}=82$
    Oplossen geeft $b=37$
  • $N=37\cdot 1,170^{t}$

Denk aan de haakjes bij de rekenmachine...

q8146img1.gif

Exponentiële verbanden

In 1859 werden door een Engelsman 24 wilde konijnen ingevoerd in Australie voor de plezierjacht. De natuurlijke vijand van het konijn ontbrak in Australie en er ontstond een ware konijnenplaag. In 2000 waren er ruim 300 miljoen konijnen. Als we veronderstellen dat de groei exponentieel verliep, bepaal dan het groeipercentage per jaar.

De groeifactor per 141 jaar is:

$\large\frac{300.000.000}{24}$

De groeifactor per jaar is:

$
\left( {\large\frac{{300.000.000}}{{24}}} \right)^{\large\frac{1}{{141}}} \approx {\rm{1}}{\rm{,122878315}}...
$

Het groeipercentage per jaar is 12,3% per jaar.

Exponentiële afname

welke formule hoort er bij deze grafiek?
antwoord

©2004-2020 W.v.Ravenstein