Actueel
Archief
Culinair
Didactiek
Documentatie
Etalage
Formules
Fotoboeken
Functies
Geschiedenis
ICT
ICTauteur
Laatste nieuws
Lesmateriaal
Muziek
Natuur
Onderwijs
Ontspanning
Persoonlijk
Probleemaanpak
Proeftuin
Puzzels
Rekenen
Rekenmachines
Ruimtemeetkunde
Schoolwiskunde
Snippers
Systeem
Taal van de wiskunde
Vergelijkingen
Verhalen
WisFaq
WisKast




De parabool als conflictlijn 3

Gegeven een parabool met top $(0,0)$ en brandpunt $F(0,p)$. De richtlijn $r$ heeft als vergelijking $r:y=-p$. Voor een willekeurig punt $P$ op de parabool geldt:

$
\eqalign{
  & d(P,F) = d\left( {P,r} \right)  \cr
  & \sqrt {x^2  + (y - p)^2 }  = p + y  \cr
  & x^2  + (y - p)^2  = \left( {p + y} \right)^2   \cr
  & x^2  + y^2  - 2py + p^2  = p^2  + 2py + y^2   \cr
  & x^2  = 4py \cr}
$

Je kunt $
(x - a)^2  = 4p(y - b)
$ opvatten als een translatie van $x^2=4py$ over de vector $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   a  \\
   b  \\
\end{array}} \right)
$. Er geldt:

  • Top $(a,b)$
  • Brandpunt $F(a,p+b)$
  • Richtlijn $r:y=-p+b$

Voorbeeld

Gegeven $y=\frac{1}{4}x^2-x+2$.

  • Geef de coördinaten van het brandpunt en een vergelijking van de richtlijn.

Uitgewerkt

$
\eqalign{
  & y = \frac{1}
{4}x^2  - x + 2  \cr
  & x^2  - 4x + 8 = 4y  \cr
  & \left( {x - 2} \right)^2  + 4 = 4y  \cr
  & (x - 2)^2  = 4y - 4  \cr
  & (x - 2)^2  = 4(y - 1)  \cr
  & p = 1 \cr}
$

  • Top(2,1)
  • Brandpunt $F(2,2)$
  • Richtlijn $r:y=0$

Dat kan ook...

©2004-2024 W.v.Ravenstein