Actueel
Archief
Culinair
Didactiek
Documentatie
Etalage
Formules
Fotoboeken
Functies
Geschiedenis
ICT
ICTauteur
Laatste nieuws
Lesmateriaal
Muziek
Natuur
Onderwijs
Ontspanning
Persoonlijk
Probleemaanpak
Proeftuin
Puzzels
Rekenen
Rekenmachines
Ruimtemeetkunde
Schoolwiskunde
Snippers
Systeem
Taal van de wiskunde
Vergelijkingen
Verhalen
WisFaq
WisKast




5. de binomiale verdeling

Bernoulli-experiment

Een Bernoulli-experiment is een kansexperiment waarbij je alleen op de gebeurtenis 'succes' en 'mislukking' let.

Een binomiaal kansexperiment is een kansexperiment dat bestaat uit $n$ gelijke Bernoulli-experimenten.

Bij een binomiaal toevalsvariabele $X$ met parameters $n$ en $p$ is de kans op $k$ keer succes gelijk aan:

$
P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
k\\
\end{array}} \right)\cdot p^k\cdot \left( {1 - p} \right)^{n - k}
$

De verwachtingswaarde $E(X)=n\cdot p$

Voorbeeld

Je gooit met 6 dobbelstenen.

  • Wat is de kans op 2 keer zes ogen?

Antwoord

$X$ is binomiaal verdeeld met $p=\frac{1}{6}$ en $n=6$

$
P(X = 2) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
6\\
2\\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\frac{1}{6}} \right)^2\cdot \left( {\frac{5}{6}} \right)^4\approx {\rm{0}}{\rm{,201}}
$

Berekenen van binomiale kansen 

Uit een vaas met 4 rode en 6 witte knikkers worden aselect, met teruglegging, drie knikkers getrokken. De stochast $X$ is het aantal rode knikkers.

$P(X=0)={3\choose0}\cdot0,4^0\cdot0,6^3=0,216$
$P(X=1)={3\choose1}\cdot0,4^1\cdot0,6^2=0,432$
$P(X=2)={3\choose2}\cdot0,4^2\cdot0,6^1=0,288$
$P(X=3)={3\choose3}\cdot0,4^3\cdot0,6^0=0,064$

De kansverdeling staat hieronder weergegeven als staafdiagram:

q10743img1.gif

Je kunt nu ook allerlei andere kansen uitrekenen:

  • $P(X\le 2)$
  • $P(X>1)$
  • $P(0\lt X\lt3)$

Hier is dat een beetje flauw maar bij grotere waarden van $n$ kunnen dat soort berekeningen als snel veel werk worden.

Met je GR kan je de kansen van de binomiale verdeling ook uitrekenen. Dat is wel zo handig...:-)

De binomiale verdeling en de GR

Je kunt binomiale kansen uitrekenen met je GR via het run-matrix-menu en via statistics.

Via het run-matrix-menu:

Via statistics:

Berekenen van n

Hoe vaak moet je met een dobbelsteen gooien zodat de kans op minstens vier keer zes ogen te gooien groter is dan $0,95$?

Om $n$ te berekenen gebruik je het Table-menu van je GR:

Notaties en berekeningen

  • $P(X=4)$
  • $P(X\le 4)$
  • $P(X<4)$
  • $P(X>4)$
  • $P(2< X\le 7)$
  • $P(2\le X <10$
  • $P(3\le X \le 8)$
  • $P(X<3\vee X>6)$

Zie uitwerking

Multinomiale verdeling

Als een kansexperiment $k$ verschillende uitkomsten heedt met kansen $p_1, ..., p_k$ met $p_1+...+p_k=1$ op deze uitkomsten en $X$ is het aantal keren dat de uitkomst $i$ verkregen wordt in $n$ onafhankelijke uitvoeringen van het experiment, dan geldt:

$
P(X_1  = x_1 ,...,X_k  = x_k ) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
{x_1,...,x_k }\\
\end{array}} \right)\cdot p_1^{x_1 }\cdot ...\cdot p_k^{x_k }
$

©2004-2024 W.v.Ravenstein