4. vergelijkingen in de meetkunde

Rekenregels voor wortels

Voor het vermenigvuldigen en delen van wortels gelden de volgende regels:

  • $\sqrt{A}·\sqrt{B}=\sqrt{AB}$ voor $A\ge0$ en $B\ge0$
  • $\eqalign{\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}}$ voor $A\ge0$ en $B\gt0$  

Rekenen met wortels

Je kunt bij $\sqrt{72}$ een factor voor het wortelteken brengen.

$\sqrt{72}=\sqrt{36·2}=\sqrt{36}·\sqrt{2}=6·\sqrt{2}$

Ga onder het wortelteken op zoek naar kwadraten. Neem een zo groot mogelijk kwadraat.

Afspraak

Breng een zo groot mogelijke factor voor het wortelteken en laat geen wortels in de noemer van een breuk staan.

Vergelijkingen met wortels

De vergelijking $x\sqrt{2}-3=\sqrt{6}$ is een voorbeeld van een lineaire vergelijking. Het oplossen komt neer op 'alle termen met $x$ naar links' en 'de rest naar rechts'. Soms kan je dan $x$ buiten haakjes halen.

Voorbeeld 1

$
\eqalign{
  & x\sqrt 2  - 3 = \sqrt 6   \cr
  & x\sqrt 2  = 3 + \sqrt 6   \cr
  & x = {3 \over {\sqrt 2 }} + {{\sqrt 6 } \over {\sqrt 2 }}  \cr
  & x = {3 \over {\sqrt 2 }} \cdot {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 }} + \sqrt 3   \cr
  & x = {{3\sqrt 2 } \over 2} + \sqrt 3   \cr
  & x = 1{1 \over 2}\sqrt 2  + \sqrt 3  \cr}
$

Voorbeeld 2

$
\eqalign{
  & x\sqrt 2  + 2x = 8  \cr
  & x\left( {\sqrt 2  + 2} \right) = 8  \cr
  & x = {8 \over {\sqrt 2  + 2}} \cr}
$

Geheel tegen de afspraken in hoeft deze oplossing kennelijk niet verder herleid te worden. Maar 't is ook niet verboden...:-)

$
\eqalign{
  & x = {8 \over {\sqrt 2  + 2}}  \cr
  & x = {8 \over {\sqrt 2  + 2}} \cdot {{\sqrt 2  - 2} \over {\sqrt 2  - 2}}  \cr
  & x = {{8\sqrt 2  - 16} \over {2 - 4}}  \cr
  & x = {{8\sqrt 2  - 16} \over { - 2}}  \cr
  & x =  - 4\sqrt 2  + 8 \cr}
$

q2990img1.gifBijzondere rechthoekige driehoeken

Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de 45°-45°-90°-driehoek en de 30°-60°-90°-driehoek.

Deze driehoeken kan je beschouwen als de helft van een vierkant resp. de helft van een gelijkzijdige driehoek. De zijden van deze driehoeken hebben bijzondere verhoudingen.

q2990img2.gif

Met behulp van de driehoeken zijn de sinus, cosinus en de tangens van de hoeken 30°, 45° en 60° makkelijk te 'onthouden'.

q11627img3.gif

Opdracht 1

q11271img1.gif

  • Bereken exact de lengte van de rechthoekszijden van bovenstaande driehoeken.
    Wat valt je op?

Opdracht 2

q11271img2.gif

  • Bereken steeds exact de lengte van $AB$.
    Wat valt je op?

uitwerkingen

©2004-2020 W.v.Ravenstein