4. gebroken formules

Asymptoten

In een gebroken functie komt de variabele in de noemer van een breuk voor.

De eenvoudigste gebroken functie is $\eqalign{f(x)=\frac{1}{x}}$. De functie is een standaardfunctie. De grafiek van deze functie is een standaardgrafiek en heet hyperbool.

q11633img1.gif

De grafiek bestaat uit twee losse delen. Deze heten de takken van de hyperbool.

Asymptoten

Als je bij $\eqalign{f(x)=\frac{1}{x}}$ voor $x$ een steeds groter getal neemt dan wordt de functiewaarde steeds kleiner. De functiewaarde komt steeds dichter bij y=0 te liggen.

De $x$-as (de lijn y=0) is de horizontale asymptoot van de grafiek van $f$.

Als je voor $x$ getallen neemt die steeds dichter bij 0 liggen dan wordt de functiewaarde steeds groter (of kleiner van de andere kant).

De $y$-as (de lijn x=0) is de verticale asymptoot van de grafiek van $f$.

  • Een asymptoot is een lijn waarmee de grafiek op den duur vrijwel samenvalt.

Zie over het vinden van asymptoten

Gebroken vergelijkingen

De vergelijking $\eqalign{\frac{x+2}{x+1}=\frac{6}{x+3}}$ is een gebroken vergelijking.

Je kunt de vergelijking algebraisch oplossen door kruislings vermenigvuldigen.

Het is verstandig om achteraf de gevonden oplossingen te controleren. Het is daarbij voldoende om na te gaan of voor de gevonden waarden van $x$ geen noemer nul wordt.

Voorbeeld

$
\eqalign{
  & {{x + 2} \over {x + 1}} = {6 \over {x + 3}}  \cr
  & \left( {x + 2} \right)(x + 3) = 6(x + 1)  \cr
  & x^2  + 5x + 6 = 6x + 6  \cr
  & x^2  - x = 0  \cr
  & x(x - 1) = 0  \cr
  & x = 0 \vee x = 1 \cr}
$

Beide oplossingen voldoen.

Regels voor het algebraisch oplossen van gebroken vergelijkingen

Zie voorbeelden gebroken vergelijkingen

gebroken vergelijkingen

Herleiden en uitdelen

Om de breuken $\eqalign{\frac{3}{x-1}}$ en $\eqalign{\frac{2}{x}}$ op te tellen moet je ze eerst gelijknamig maken. Dat gaat zo...

Om de breuk $\eqalign{\frac{3x}{2x^2+x}}$ te vereenvoudigen deel je teller en noemer door de gemeenschappelijke factor. Om te ontdekken wat de gemeenschappelijk factoren zijn ga je de teller en noemer meestal ontbinden in factoren.

NOOT
Als je teller en noemer deelt door een gemeenschappelijk factor moet je er wel op letten dat die factor niet nul mag zijn. Het is handig en verstandig dit te vermelden.

Gebroken formules omwerken

Bij de gebroken formule $\eqalign{y=\frac{2}{x-3}}$ is $y$ uitgedrukt in $x$. Je kunt ook $x$ uitdrukken in $y$. Dat gaat zo:

$
\eqalign{
  & y = \frac{2}
{{x - 3}}  \cr
  & y(x - 3) = 2  \cr
  & xy - 3y = 2  \cr
  & xy = 3y + 2  \cr
  & x = \frac{{3y + 2}}
{y} \cr}
$

Werkwijze

  • Kruislings vermenigvuldigen
  • Werk de haakjes weg
  • Termen met $x$ links, de andere termen naar rechts
  • Breng $x$ buiten haakjes
  • Deel beide leden door wat er tussen de haakjes staat

Zie voorbeeld gebroken formule omwerken

©2004-2020 W.v.Ravenstein