3. exponentiŽle functies

De standaardfunctie y=gx

Een functie van de vorm $f(x)=g^x$ met $g$ constant en $g\gt0$ is een exponentiële functie. De variabele $x$ staan in de exponent.

De grafiek van $f$ is stijgend als $g\gt1$ en de grafiek is dalend in het geval $0\lt g\lt1$.

De $x$-as is een asymptoot.

  • $D_f=R$
  • $B_f=<0,\to>$

De functie $f(x)=g^x$ is een standaardfunctie en de grafiek is een standaardgrafiek. Je mag ze zonder toelichting tekenen.

Transformaties en exponentiële functies

Door de standaardgrafiek $y=g^x$ te verschuiven, te vermenigvuldigen of te spiegelen onstaan andere grafieken.

Mogelijke transformaties:

  • Spiegelen in de $x$- of $y$-as
  • Verticale of horizontale verschuiving
  • Vermenigvuldigen t.o.v. de $x$- of $y$-as

Zie overzicht transformaties van grafieken voor een volledig overzicht.

Voorbeelden

  • Opgave $A50$ op bladzijde 32

Uitwerkingen

  • Zie uitwerkingenboek

Zie ook toepassingen van transformaties van grafieken

Vermenigvuldigen met een factor t.o.v. y-as

Vervang 'x' door '$\frac{1}{a}$x' als je wilt vermenigvuldigen met de factor 'a' t.o.v. de y-as.

q7039img1.gif

Voorbeeld
Als je $f(x)=x^2+x+1$ bijvoorbeeld wilt vermenigvuldigen met de factor $2$ t.o.v. de $y$-as dan krijg je:

$f(x)=(\frac{1}{2}x)^2+\frac{1}{2}x+1$
$f(x)=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+1$

Exponentiële ongelijkheden
Voorbeeld 1

Los op: $2^{x-2}-1<-\left({\frac{1}{2}}\right)^x+3$

Uitwerking

Neem $f(x)=2^{x-2}-1\,\,$.
Neem $\,\,g(x)=-\left( {\frac{1}{2}}\right)^x+3$.
Plot de grafieken op je GR, benader de snijpunten en geef de oplossingen zodat f(x)$<$g(x).

q7040img2.gifq7040img3.gif

Oplossing: -2,0$<$x$<$4,0

q7040img1.gif

Voorbeeld 2

Gegeven $f(x)=2^{\frac{x}{2}+2}-2\,\,$en$\,\,g(x)=x+2$.
Los op: f(x)>g(x)

Uitwerking

Benader de snijpunten met je GR.

Oplossing: $x<2\vee x>0$

Is dit een exacte oplossing? Kun je de vergelijking f(x)=g(x) algebraïsch oplossen?

q7040img4.gif
q7040img5.gif

Voorbeeld 3

Los exact op: $4\cdot2^{x-2}<2\cdot\left({\frac{1}{4}}\right)^x$

Uitwerking

Plot de grafieken met je GR en bereken exact het spijpunt.

$
\eqalign{
  & 4 \cdot 2^{x - 2}  = 2 \cdot \left( {\frac{1}
{4}} \right)^x   \cr
  & 2^2  \cdot 2^{x - 2}  = 2 \cdot \left( {\frac{1}
{{2^2 }}} \right)^x   \cr
  & 2^x  = 2 \cdot \left( {2^{ - 2} } \right)^x   \cr
  & 2^x  = 2^1  \cdot 2^{ - 2x}   \cr
  & 2^x  = 2^{ - 2x + 1}   \cr
  & x =  - 2x + 1  \cr
  & 3x = 1  \cr
  & x = \frac{1}
{3} \cr}
$

Oplossing: $x>\frac{1}{3}$


Exponentiële vergelijkingen algebraïsch oplossen

Sommige exponentiële vergelijkingen moet je algebraische kunnen oplossen.

Voorbeelden

  • $2^{x-3}=\sqrt{2}$
  • $3^{x+1}=\frac{1}{9}\sqrt{3}$
  • $2·3^{2x-1}=18$

Je werkt dan toe naar een vorm waarin het linkerlid en het rechterlid als macht van hetzelfde grondtal geschreven zijn. Je gebruikt:

  • Als $g^A=g^B$ dan $A=B$

Voorbeelden

$
\eqalign{
  & 2^{x - 3}  = \sqrt 2   \cr
  & 2^{x - 3}  = 2^{\frac{1}
{2}}   \cr
  & x - 3 = \frac{1}
{2}  \cr
  & x = 3\frac{1}
{2} \cr}
$


$
\eqalign{
  & 3^{x + 1}  = \frac{1}
{9}\sqrt 3   \cr
  & 3^{x + 1}  = 3^{ - 2}  \cdot 3^{\frac{1}
{2}}   \cr
  & 3^{x + 1}  = 3^{ - 1\frac{1}
{2}}   \cr
  & x + 1 =  - 1\frac{1}
{2}  \cr
  & x =  - 2\frac{1}
{2} \cr}
$


$
\eqalign{
  & 2 \cdot 3^{2x - 1}  = 18  \cr
  & 3^{2x - 1}  = 9  \cr
  & 3^{2x - 1}  = 3^2   \cr
  & 2x - 1 = 2  \cr
  & 2x = 3  \cr
  & x = 1\frac{1}
{2} \cr}
$

©2004-2020 W.v.Ravenstein