Actueel
Archief
Culinair
Didactiek
Documentatie
Etalage
Formules
Fotoboeken
Functies
Geschiedenis
ICT
ICTauteur
Laatste nieuws
Lesmateriaal
Muziek
Natuur
Onderwijs
Ontspanning
Persoonlijk
Probleemaanpak
Proeftuin
Puzzels
Rekenen
Rekenmachines
Ruimtemeetkunde
Schoolwiskunde
Snippers
Systeem
Taal van de wiskunde
Vergelijkingen
Verhalen
WisFaq
WisKast




3. vectoren en hoeken

Het inproduct

Met $
\underline a  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{a_1}\\
{a_2}\\
\end{array}} \right)
$ en $
\underline b  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{b_1 }\\
{b_2 }\\
\end{array}} \right)
$ is het inproduct gelijk aan:

$
\underline a\cdot \underline b=\left( {\begin{array}{*{20}c}
{a_1}\\
{a_2}\\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
{b_1}\\
{b_2}\\
\end{array}} \right)=a_1 b_1+a_2 b_2
$

Merk op dat de uitkomst van het inproduct van twee vectoren een getal is.

De hoek tussen twee vectoren

Voor de hoek tussen de vectoren $
\underline a
$ en $
\underline b
$ geldt:

$
\cos \left( {\angle \left( {\underline a ,\underline b } \right)} \right) = \frac{{\underline a  \cdot \underline b }}{{\left| {\underline a } \right| \cdot \left| {\underline b } \right|}}
$

met $
\underline a \ne \underline 0
$ en $
\underline b \ne \underline 0
$

De hoek tussen twee lijnen

Als je de hoek wilt berekenen tussen de lijn $l$ en $k$ dan bereken je de hoek $\varphi$ tussen de richtingsvectoren van $l$ en $k$. Als de hoek stomp is dan neem je $180-\varphi$

Het inproduct en loodrechte stand

$
\underline a \cdot \underline b  = 0 \Leftrightarrow \underline a \bot  \underline b
$ met $
\underline a \ne \underline 0
$ en $
\underline b \ne \underline 0
$

Loodrecht op een vector

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
p\\
q\\
\end{array}} \right) \bot \left( {\begin{array}{*{20}c}
q\\
{-p}\\
\end{array}} \right)
$ of $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
p\\
q\\
\end{array}} \right) \bot \left( {\begin{array}{*{20}c}
{-q}\\
p\\
\end{array}} \right)
$

Normaalvector

Een normaalvector van een lijn $l$ is een vector (niet de nulvector) die loodrecht op $l$ staat.

De vector $
\underline n _l  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
a\\
b\\
\end{array}} \right)
$ is normaalvector van de lijn $l:ax+by=c$

Voorbeeld

Geef een vectorvoorstelling van de lijn $n$ door $B(5,-1)$ gaat en loodrecht staat op de lijn $m$:

$
m:\left( {\begin{array}{*{20}c}
x\\
y\\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
0\\
2\\
\end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c}
3\\
2\\
\end{array}} \right)
$

Antwoord:

$
n:\left( {\begin{array}{*{20}c}
x\\
y\\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
5\\
{-1}\\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
2\\
{-3}\\
\end{array}} \right)
$

©2004-2024 W.v.Ravenstein