het binomium van Newton

De driehoek van Pascal

Elk getal in de driehoek van Pascal geeft het aantal kortste routes om vanuit de top op die plaats te komen.

q10728img1.gif

De getallen in de $n$-de rij zijn:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
0\\
\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
1\\
\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
2\\
\end{array}} \right),...,\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
n\\
\end{array}} \right)
$

q10728img2.gif

De som van de getallen in de $n$-de rij is $2^n$

De regel van Pascal

In de driehoek van Pascal is elk getal de som van de twee getallen die er schuin boven staan.

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
{k-1}\\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
k\\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n+1}\\
k\\
\end{array}} \right)
$

Sigma-notatie

Met het wiskundige symbool $\Sigma$ kunnen we (oneindige) reeksen kort opschrijven. De letter $\Sigma$ is de hoofdletter S uit het Griekse alfabet. Het symbool $\Sigma$ is een somteken (en heeft dus alles te maken met optellen):

De formule $
\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{1}{{2^k }}}
$ staat voor de oneindige som $
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...
$. Voor elk getal $
k = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,...
$ tel je de breuken bij elkaar op.

$
\sum\limits_{k = 1}^5 k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
$

$
\sum\limits_{k = 0}^5 {\left( {\begin{array}{*{20}c}
5\\
k\\
\end{array}} \right) \cdot 2^k } = 3^5
$

$
\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
k\\
\end{array}} \right)}  = 2^n
$

$
\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{1}{{2^k }}}  = 1
$


q10778img1.gif

Binomiaalcoëfficiënten

Bij het herleiden van $(a+b)^n$ komen de getallen van de $n$-de rij van Pascal tevoorschijn.

In het algemeen geldt:

$
\left( {a + b} \right)^n  = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
k\\
\end{array}} \right)}  \cdot a^{n - k}  \cdot b^k
$

Deze formule heet het binomium van Newton. De getallen $
{\left( {\begin{array}{*{20}c}
n\\
k\\
\end{array}} \right)}
$ heten binomiaalcoëfficiënten.

Voorbeeld 1

Laat zien dat:

$
(x - 2)^3  = x^3  - 6x^2  + 12x - 8
$

Zie uitwerking

Voorbeeld 2

Geef de coëfficiënt van de vijfde term in de uitwerking van $(2p-3q)^7$.

Antwoord

Bij de vijfde term is $k=4$. Je krijgt dan:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
7\\
4\\
\end{array}} \right) \cdot \left( {2p} \right)^3\cdot \left( { - 3q} \right)^4
$

Uitwerken geeft:

$
22680p^3 q^4
$

Het antwoord is $22680$

Multinomiaalcoëfficiënten

De coëfficiënten in de herleiding van een mulitonomium heten multinomiaalcoëfficiënten.

In de herleiding van $(p+q+r)^7$ is de binomiaalcoëfficiënt van $p^4q^2r$ gelijk aan:

$\left( {\begin{array}{*{20}c}
7\\
{4,2,1}\\
\end{array}} \right) $ = $\Large\frac{{7!}}{{4! \cdot 2! \cdot 1!}}$

De herleiding van $(p+q+r)^7$ kan met de sigma-notatie worden geschreven als:

$
(p + q + r)^7  = \sum\limits_{i + j + k = 7}^{} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
7\\
{i,j,k}\\
\end{array}} \right)}\cdot p^i q^j r^k
$

...en dat is aan de vage kant:-)

©2004-2020 W.v.Ravenstein