de abc-formule

Kwadratische vergelijkingen oplossen

Voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen heb je twee manieren geleerd:

  1. Met ontbinden in factoren
  2. Met kwadraatafsplitsen

Oplossen met de abc-formule

Met de abc-formule kan je elke tweedegraadsvergelijing oplossen. Soms (maar niet altijd) kan dat handig zijn.

Aanpak

Een tweedegraadsvergelijking oplossen met abc-formule gaat zo:

  1. Schrijf de vergelijking in de vorm $ax^2+bx+c=0$
  2. Vermeld $a$, $b$ en $c$
  3. Bereken de discriminant $D=b^2-4ac$
  4. De oplossingen zijn $\eqalign{x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}$ en $\eqalign{x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}$

Het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking

Als je de abc-formule toepast dan komt $\sqrt{D}$ niet altijd mooi uit. Voor een exact antwoord laat je de wortel staan. Soms wordt er een benadering gevraagd. Dat doe je dan op 't laatst met de rekenmachine.

Als D=0

Als $D=0$ dan heb je niet 2 oplossingen maar slechts 1 oplossing.

Als D<0

Als $D\lt0$ dan heb je geen oplossing.

De ligging van een parabool ten opzichte van de x-as

Om de coördinaten van de snijpunten van de parabool $y=ax^2+bx+c$ met de $x$-as te berekenen los je de vergelijking $ax^2+bx+c=0$ op.

Het aantal oplossingen kan twee, één of nul zijn. Dat aantal hangt af van de discriminant:

  • $D\lt0$: geen oplossingen
  • $D=0$: één oplossing
  • $D\gt0$: twee oplossingen

$
D < 0
$

geen oplossing

geen snijpunten met de x-as

q6826img1.gif

$
D = 0
$

één oplossing

één snijpunt met de x-as

q6826img2.gif

$
D > 0
$

twee oplossingen

twee snijpunten met de x-as

q6826img3.gif

Functies met een parameter (B)

In $f(x)=x^2+4x+p$ heet $p$ een parameter. Een parameter is een hulpvariabele. Je hebt dan te maken met een 'familie van functies'. Voor elke waarde van $p$ een andere functie.

Voorbeeld

Gegeven $f(x)=2x^2-6x+p$. Voor welke waarde van $p$ raakt de grafiek van $f$ de $x$-as?

  • Bereken de snijpunten van $f$ met de $x$-as. Als $f$ raakt aan de $x$-as dan zou dat precies één  snijpunt moeten opleveren,
    $2x^2-6x+p=0$
    $a=2$, $b=-6$ en $c=p$
    $D=(-6)^2-4·2·p=36-8p$
    Er geldt dat $D=0$
    $36-8p=0$
    $8p=36$
    $p=4\frac{1}{2}$

©2004-2021 W.v.Ravenstein