2. vergelijkingen in de meetkunde

Vergelijkingen en bijzondere rechthoekige driehoeken

q12855img1.gif

De omtrek van driehoek ABC in 12.

  • Bereken AB in drie decimalen nauwkeurig

Vergelijkingen en de stelling van Pythagoras

q1229img2.gif

Het rode vierkant heeft een zijde van 8. Het punt M is het midden van AB en de groene cirkel gaat door de punten C, D en M.

  • Bereken exact de straal van deze cirkel

Uitwerking

Teken de hoogtelijn CD. Je krijgt dan twee bijzondere rechthoekige driehoeken (de tekendriehoeken!).

q12855img2.gif

Neem $AD=x$. Dan is $AC=2x$ en $CD=x\sqrt{3}$, maar dan is $DB=x\sqrt{3}$ en kan je berekenen dat $BC=x\sqrt{6}$.

De omtrek is 12, er geldt:

$\eqalign{
  & x + 2x + x\sqrt 6  + x\sqrt 3  = 12  \cr
  & 3x + x\sqrt 6  + x\sqrt 3  = 12  \cr
  & x\left( {3 + \sqrt 6  + \sqrt 3 } \right) = 12  \cr
  & x = \frac{{12}}{{3 + \sqrt 6  + \sqrt 3 }}  \cr
  & x \approx {\text{1}}{\text{,6710}}  \cr
  & AD = {\text{1}}{\text{,6710}} + {\text{1}}{\text{,6710}} \cdot \sqrt 3   \cr
  & AD \approx 4,565 \cr} $

Uitwerking

Het is hier handig om het middelpunt van de cirkel te tekenen en aan te geven welke lijnstukken je nodig hebt. Gebruik waar mogelijk de straal van de cirkel. Je krijgt:

q12736img1.gif

Er geldt:

$x+r=8$
$r^2=x^2+16$

Oplossen geeft:

$r^2=(r-8)^2+16$
$r^2=r^2-16r+64+16$
$16r=80$
$r=5$

©2004-2022 W.v.Ravenstein