Actueel
Archief
Culinair
Didactiek
Documentatie
Etalage
Formules
Fotoboeken
Functies
Geschiedenis
ICT
ICTauteur
Laatste nieuws
Lesmateriaal
Muziek
Natuur
Onderwijs
Ontspanning
Persoonlijk
Probleemaanpak
Proeftuin
Puzzels
Rekenen
Rekenmachines
Ruimtemeetkunde
Schoolwiskunde
Snippers
Systeem
Taal van de wiskunde
Vergelijkingen
Verhalen
WisFaq
WisKast




Goniometrische vergelijkingen oplossen

Voor welke $\alpha$ geldt: $\sin\alpha=\frac{1}{2}\sqrt{2}$?

Met de eenheidscirkel vind je (in ieder geval) twee antwoorden!

Dus $\alpha=\frac{1}{4}\pi$ of $\alpha=\frac{3}{4}\pi$. Maar klopt dat wel?

Nee, dat klopt niet. Er zijn oneindig veel oplossingen. $\alpha=2\frac{1}{4}\pi$ of $\alpha=2\frac{3}{4}\pi$ of $\alpha=4\frac{1}{4}\pi$ of $\alpha=4\frac{3}{4}\pi$, enz... maar ook $\alpha=-1\frac{1}{4}\pi$ of $\alpha=-1\frac{3}{4}\pi$.

Wij noemen dat wel modulo 2$\pi$. Dat wil zeggen dat er bij een oplossing bij steeds stapjes 2$\pi$ groter of kleiner ook oplossingen zijn.

q6528img1.gif

Notatie

Om alle antwoorden te geven gebruiken we de notatie $...+k\cdot2\pi$. Voor k kan je dan elk willekeurig geheel getal in vullen. Een oplossing zit er dan zo uit:

$\sin{\alpha}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$\alpha=\frac{1}{4}\pi+k\cdot2\pi$ of $\alpha=\frac{3}{4}\pi+k\cdot2\pi$

Je hebt (in dit geval) dus twee verschillende verzamelingen van een oneindig aantal antwoorden.

q6528img1.gif

Voorbeeld 1

$
\sin 2\alpha  = \frac{1}{2}
$
$
2\alpha  = \frac{1}{6}\pi  + k \cdot 2\pi
$ of $
2\alpha  = \frac{5}{6}\pi  + k \cdot 2\pi
$
$
\alpha  = \frac{1}{{12}}\pi  + k \cdot \pi
$ of $
\alpha  = \frac{5}{{12}}\pi  + k \cdot \pi
$

De hoeken zoek je op in de eenheidscirkel en dan modulo $2\pi$. Daarna kan je de vergelijking verder oplossen. In dit geval deel je door $2$. Kijk maar 's goed!

q6528img1.gif

Voorbeeld 2

$
\sin \left( {\frac{1}{2}\alpha  - \frac{1}{2}\pi } \right) =  - \frac{1}{2}\sqrt 3
$
$
\frac{1}{2}\alpha  - \frac{1}{2}\pi  = 1\frac{1}{3}\pi  + k \cdot 2\pi
$ of $
\frac{1}{2}\alpha  - \frac{1}{2}\pi  = 1\frac{2}{3}\pi  + k \cdot 2\pi
$
$
\frac{1}{2}\alpha  = 1\frac{5}{6}\pi  + k \cdot 2\pi
$ of $
\frac{1}{2}\alpha  = 2\frac{1}{6}\pi  + k \cdot 2\pi
$
$
\alpha  = 3\frac{2}{3}\pi  + k \cdot 4\pi
$ of $
\alpha  = 4\frac{1}{3}\pi  + k \cdot 4\pi
$

De hoeken zoek je op in de eenheidscirkel en dan modulo $2\pi$. Daarna kan je de vergelijking verder oplossen. In dit geval links en rechts $\frac{1}{2}\pi$ optellen en vermengvuldigen met $2$. Kijk maar weer 's goed!

q6528img1.gif


Opdracht
Los exact op:
  1. $\sqrt 2  \cdot \sin \left( {2x  - \pi } \right) = 1$
  2. $2\cos (2x - {\textstyle{1 \over 3}}{\rm{\pi }}) = \sqrt 3 $
  3. $\sin (x)\cos (x) - \sin (x) = 0$
  4. $\sin^2(x)=\frac{1}{2}$

©2004-2024 W.v.Ravenstein